《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例4 计算：
(1)$\sqrt{7} × \pi$(精确到0.01)；
(2)$\sqrt{10} + \sqrt[3]{3.16}$(精确到0.1)。

答案： 规范解答：
(1)根据题目要求可知，$\sqrt{7}$与$\pi$的近似值要取到小数点后3位。$\sqrt{7} × \pi \approx 2.646 × 3.142 \approx 8.31$。
(2)根据题目要求可知，$\sqrt{10}$，$\sqrt[3]{3.16}$的近似值要取到小数点后2位。$\sqrt{10} + \sqrt[3]{3.16} \approx 3.16 + 1.47 \approx 4.6$。

类型 1 实数的性质
例1 已知$a$与$b$互为相反数，$c$与$d$互为倒数，$m$的倒数是其本身，求$\frac{cd}{m} + (a + b)m - |m|$的值。

答案：
规范解答：由题意得$a + b = 0$，$cd = 1$，$m = \pm 1$。
当$m = 1$时，原式$= \frac{1}{1} + 0 × 1 - |1| = 1 + 0 - 1 = 0$；
当$m = -1$时，原式$= \frac{1}{-1} + 0 × (-1) - |-1| = -1 - 1 = -2$。
综上，$\frac{cd}{m} + (a + b)m - |m|$的值为0或-2。

类题巧解
互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，据此可将代数式化简。

类型 2 实数与数轴

例2 实数$a$，$b$，$c$，$d$在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是 (D)

A.$a ＞ -4$
B.$bd ＞ 0$
C.$b + c ＞ 0$
D.$|a| ＞ |b|$

答案： 规范解答：从数轴上可以看出，$a ＜ -4$，故A选项错误，不符合题意；因为$b ＜ -1$，$d = 4$，所以$bd ＜ 0$，故B选项错误，不符合题意；因为$-2 ＜ b ＜ -1$，$0 ＜ c ＜ 1$，所以$b + c ＜ 0$，故C选项错误，不符合题意；因为$-5 ＜ a ＜ -4$，$-2 ＜ b ＜ -1$，所以$|a| ＞ |b|$，故D选项正确，符合题意。
答案：D
类题巧解
实数和数轴上的点是一一对应的，在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。

类型 3 实数的运算
例3 计算：
(1)$(-1)^2 + |-3| + \sqrt{4}$；
(2)$|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - 2|$；
(3)$\sqrt{4} + (3.14 - \pi)^0 + |-2| + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$。

答案： 规范解答：
(1)$(-1)^2 + |-3| + \sqrt{4} = 1 + 3 + 2 = 6$。
(2)$|1 - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - 2| = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = 1$。
(3)$\sqrt{4} + (3.14 - \pi)^0 + |-2| + \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 + 1 + 2 + 2 = 7$。
类题巧解
进行实数的运算，要明确有理数的运算法则及性质在实数范围内仍然成立。特别地，碰到化简绝对值，首先判断绝对值符号里代数式整体的正负，再根据绝对值的意义，整体取正或负。此外可记口诀：
实数运算不要慌，有理法则来帮忙。
运算首先开、乘方，乘除加减后开张。
同级运算左到右，括号内先算不多想。

类型 4 实数的实际应用
例4 在一个半径为$20 cm$的圆形铁板上，欲截取一面积最大的正方形铁板做机器零件，求正方形的边长(精确到$0.01 cm$)。

答案： 规范解答：正方形的四个顶点都正好在圆板的外沿上时，所截正方形的面积最大，此时正方形的对角线应是圆的直径。设正方形铁板的边长为$x cm$，则正方形铁板的对角线长为$\sqrt{2}x cm$。由题意，得$2x^2 = 40^2$，所以$x = \sqrt{800} \approx 28.28 ( cm)$。故正方形铁板的边长约为$28.28 cm$。
类题巧解
解此类题的方法是从实际问题中抽象出数学问题，通过解数学问题解决问题。注意最后要根据实际情况取值，不能盲目四舍五入。