《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

类型 1 勾股定理的逆定理的应用
例1 如图，正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$为$BC$的中点，点$F$在$CD$上，且$DF = 3CF$，连接$AF$，$AE$，$EF$。试说明：$AE\perp EF$。

答案： 规范解答：因为正方形$ABCD$的边长为$4$，$E$为$BC$的中点，$DF = 3CF$，
所以$BE = CE = 2$，$CF = 1$，$DF = 3$。
在$Rt\triangle ABE$中，$AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=4^{2}+2^{2}=20$，
在$Rt\triangle ADF$中，$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=4^{2}+3^{2}=25$，
在$Rt\triangle ECF$中，$EF^{2}=CE^{2}+CF^{2}=2^{2}+1^{2}=5$，
所以$AE^{2}+EF^{2}=AF^{2}$，
所以$\triangle AEF$为直角三角形，且$\angle AEF = 90^{\circ}$，
所以$AE\perp EF$。

例2 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle C$是直角，$AB = 13$，$BC = 4$，$CD = 3$，$AD = 12$。试说明：$AD\perp BD$。

答案： 规范解答：在$Rt\triangle BCD$中，$BC = 4$，$CD = 3$，
由勾股定理，得$BD^{2}=BC^{2}+CD^{2}=4^{2}+3^{2}=25$，
所以$BD = 5$。
在$\triangle ABD$中，因为$BD = 5$，$AD = 12$，$AB = 13$，
且$AB^{2}=AD^{2}+BD^{2}$，
所以$\triangle ABD$是直角三角形，且$\angle ADB = 90^{\circ}$，
所以$AD\perp BD$。
类题巧解
在说明两边具有垂直关系时，常利用三角形的三边之间的数量关系，说明这两边所在的三角形是直角三角形。

类型 2 勾股数的规律探究题
例3 满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$的三个正整数，称为勾股数。
(1)请把下列三组勾股数补充完整：①6，$8$，$10$；②$9$，12，$15$；③$9$，$40$，41。
(2)小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将这个偶数写成$2mn$，那么另外两个数可以写成$m^{2}+n^{2}$，$m^{2}-n^{2}(m＞n)$，如$4 = 2×2×1$，$5 = 2^{2}+1^{2}$，$3 = 2^{2}-1^{2}$。请你帮小明说明$2mn$，$m^{2}+n^{2}$，$m^{2}-n^{2}$是一组勾股数。
(3)如果$28$，$96$，$100$是满足上述规律的一组勾股数，求$m + n$的值。

答案： 规范解答：
(1)$6$ $12$ $41$
(2)根据题意可知，$2mn$，$m^{2}+n^{2}$，$m^{2}-n^{2}$都是正整数。
因为$(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}$，$(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}$，$(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}$，且$m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}+4m^{2}n^{2}$，
所以$(m^{2}+n^{2})^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}$，所以$2mn$，$m^{2}+n^{2}$，$m^{2}-n^{2}$是一组勾股数。
(3)将$28$，$96$，$100$约去公因数$4$，得到$7$，$24$，$25$，其中$24 = 2×3×4$，$25 = 4^{2}+3^{2}$，$7 = 4^{2}-3^{2}$，
所以$m = 4$，$n = 3$，所以$m + n = 7$。
类题巧解
对于有关勾股数的规律探究，关键是验证两个较小数或代数式的平方和是否等于最大数或代数式的平方。