《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例2 如图，$AD$为$\triangle ABC$的中线，$AB = 12\mathrm{cm}$，$\triangle ABD$和$\triangle ADC$的周长之差是$4\mathrm{cm}$，求$\triangle ABC$的边$AC$的长$(AC ＜ AB)$。

答案： 规范解答：因为$AD$为$\triangle ABC$的中线，所以$BD = CD$。
因为$\triangle ABD$和$\triangle ADC$的周长之差是$4\mathrm{cm}$，所以$AB + AD + BD - (AC + AD + CD) = AB + AD + BD - AC - AD - BD = AB - AC = 4\mathrm{cm}$。
因为$AB = 12\mathrm{cm}$，所以$AC = 12 - 4 = 8(\mathrm{cm})$。

例3 如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别是$BC$，$AD$的中点，且$\triangle ABC$的面积是$12$，求$\triangle ABE$的面积。

答案： 规范解答：因为$E$是$AD$的中点，所以$AE = DE$，所以$S_{\triangle ABD} = 2S_{\triangle ABE}$。
同理$S_{\triangle ABC} = 2S_{\triangle ABD}$。
所以$S_{\triangle ABC} = 4S_{\triangle ABE} = 12$，所以$S_{\triangle ABE} = 3$。
类题巧解
1. 三角形一边上的中线将这条边分成长度相等的两部分。
2. 三角形一边上的中线将该三角形分成两个三角形，由两个三角形等底同高可得它们的面积相等。

例4 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 60°$，$\angle ABC$与$\angle ACB$的平分线相交于点$D$，求$\angle BDC$的度数。

答案： 规范解答：在$\triangle BDC$中，$\angle BDC = 180° - (\angle DBC + \angle DCB)$。
因为$\angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle DCB = \frac{1}{2}\angle ACB$，所以$\angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB)$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ABC + \angle ACB = 180° - \angle A = 180° - 60° = 120°$，所以$\angle DBC + \angle DCB = \frac{1}{2} × 120° = 60°$。
所以$\angle BDC = 180° - (\angle DBC + \angle DCB) = 180° - 60° = 120°$。
类题巧解
解此类题的关键是应用“整体思想”，在各个角不能分别求解的情况下，整体求它们的和或差，可顺利解答问题。

例5 如图，$AF$，$AD$分别是$\triangle ABC$的高和角平分线，且$\angle B = 36°$，$\angle C = 76°$，求$\angle DAF$的度数。

答案： 规范解答：方法1：因为$\angle B = 36°$，$\angle C = 76°$，所以$\angle BAC = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 36° - 76° = 68°$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 34°$，所以$\angle ADB = 180° - \angle B - \angle BAD = 180° - 36° - 34° = 110°$，$\angle ADF = 180° - \angle ADB = 70°$。
因为$AF \perp BC$，所以$\angle AFD = 90°$，所以$\angle DAF + \angle ADF = 90°$，所以$\angle DAF = 90° - \angle ADF = 90° - 70° = 20°$。
方法2：因为$\angle B = 36°$，$\angle C = 76°$，所以$\angle BAC = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 36° - 76° = 68°$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle DAC = \frac{1}{2}\angle BAC = 34°$。
因为$AF \perp BC$，所以$\angle AFC = 90°$，所以$\angle FAC = 90° - \angle C = 90° - 76° = 14°$，所以$\angle DAF = \angle DAC - \angle FAC = 34° - 14° = 20°$。
类题巧解
解此类题一般有两种思路：一是通过所求角所在的三角形求解；二是通过角的和差关系求解。