《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例4 如图，在$\triangle ABC$中，$AC = 6$，$BC = 4.5$，分别以$A$，$B$为圆心，3.5为半径画弧，交于点$E$，$F$，过点$E$，$F$的直线交$AC$于点$D$，连接$BD$，则$\triangle BCD$的周长是10.5。

思路分析：由作图知$EF$是$AB$的垂直平分线，所以$BD = AD$，这样$\triangle BCD$的周长便转化为$AC + BC$的长，从而使问题获解。

答案： 规范解答：由题意可知，$EF$是$AB$的垂直平分线，所以$BD = AD$，所以$\triangle BCD$的周长$= BD + CD + BC = AD + CD + BC = AC + BC = 6 + 4.5 = 10.5$。
答案：$10.5$

例5 如图，$P$是等边三角形$ABC$的边$BC$上的一点(点$P$与点$C$，$B$不重合)，则在以线段$AP$，$BP$，$CP$的长为三边长组成的三角形中，最大的内角的度数为 ()

A.$90^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$120^{\circ}$
思路分析：过点$P$作$PE// AB$交$AC$于点$E$，通过说明$\triangle CEP$是等边三角形得到$BP = AE$，$CP = PE$，将以线段$AP$，$BP$，$CP$的长为三边长组成的三角形转化为$\triangle AEP$，进而解决问题。

答案：
规范解答：过点$P$作$PE// AB$交$AC$于点$E$，如图所示。因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle CAB=\angle CBA=\angle C = 60^{\circ}$，$AC = BC$。因为$PE// AB$，所以$\angle CEP=\angle CAB = 60^{\circ}$，$\angle CPE=\angle CBA = 60^{\circ}$，所以$\triangle CEP$是等边三角形，所以$CE = CP = PE$，所以$AE = AC - CE = BC - CP = BP$，$\angle AEP = 180^{\circ}-\angle CEP = 120^{\circ}$，所以在以线段$AP$，$BP$，$CP$的长为三边长组成的三角形中，最大的内角为$120^{\circ}$。

答案：D

例6 如图，$AD// BC$，$E$是$AB$的中点，连接$DE$并延长交$CB$的延长线于点$F$，点$G$在边$BC$上，且$\angle GDF=\angle ADF$。
(1)试说明：$\triangle ADE\cong\triangle BFE$；
(2)连接$EG$，判断$EG$与$DF$的位置关系，并说明理由。

思路分析：(1)先通过平行得到两对内错角相等，结合由线段中点得到的线段相等，可说明两个三角形全等。
(2)由角相等的条件可说明$\triangle DFG$是等腰三角形，再结合由三角形全等得到的线段相等，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可说明。

答案： 规范解答：
(1)因为$AD// BC$，所以$\angle ADE=\angle BFE$，$\angle DAE=\angle FBE$。因为$E$是$AB$的中点，所以$AE = BE$。在$\triangle ADE$和$\triangle BFE$中，因为$\angle ADE=\angle BFE$，$\angle DAE=\angle FBE$，$AE = BE$，所以$\triangle ADE\cong\triangle BFE( AAS)$。
(2)$EG\perp DF$。理由如下：
因为$\angle GDF=\angle ADF$，$\angle ADF=\angle GFD$，所以$\angle GDF=\angle GFD$，所以$GD = GF$。因为$\triangle ADE\cong\triangle BFE$，所以$DE = FE$，所以$EG\perp DF$。