《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例2 图1中大正方形的面积可表示为$(a + b)^{2}$，也可表示为$c^{2}+4×\frac{1}{2}ab$，即$(a + b)^{2}=c^{2}+4×\frac{1}{2}ab$，由此推出$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

(1)请你用图2验证勾股定理(其中4个直角三角形全等)；
(2)请你用图3提供的图形进行组合，用组合的图形验证$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$。

答案：
规范解答：
(1)图2中大正方形的面积为$c^{2}$，中间空白部分正方形的面积为$(b - a)^{2}$，4个阴影部分直角三角形的面积和为$4×\frac{1}{2}ab$。观察可知，大正方形的面积 = 空白正方形的面积 + 4个直角三角形的面积，即$c^{2}=(b - a)^{2}+4×\frac{1}{2}ab$，所以$c^{2}=b^{2}-2ab + a^{2}+2ab$，即$c^{2}=a^{2}+b^{2}$。
(2)组合的图形如图所示。图中大正方形的面积可表示为$(x + y)^{2}$，也可表示为$x^{2}+2xy + y^{2}$，所以$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}$成立。

例3 在$\triangle ABC$中，$AB = 13$，$AC = 20$，$BC$边上的高为$12cm$，则$\triangle ABC$的面积为。

答案：
规范解答：分情况讨论如下：
①如图1，在锐角三角形$ABC$中，$AB = 13$，$AC = 20$，$BC$边上的高$AD = 12$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 13$，$AD = 12$，由勾股定理，得$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=13^{2}-12^{2}=25$，所以$BD = 5$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 20$，$AD = 12$，由勾股定理，得$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=20^{2}-12^{2}=256$，所以$CD = 16$。
所以$BC = BD + CD = 5 + 16 = 21$，
所以$\triangle ABC$的面积$=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×21×12 = 126$。

②如图2，在钝角三角形$ABC$中，$AB = 13$，$AC = 20$，$BC$边上的高$AD = 12$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AB = 13$，$AD = 12$，由勾股定理，得$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=13^{2}-12^{2}=25$，所以$BD = 5$。
在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 20$，$AD = 12$，由勾股定理，得$CD^{2}=AC^{2}-AD^{2}=20^{2}-12^{2}=256$，所以$CD = 16$。
所以$BC = CD - BD = 16 - 5 = 11$，
所以$\triangle ABC$的面积$=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×11×12 = 66$。
综上，$\triangle ABC$的面积为126或66。
答案：126或66

例4 有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢。问：小鸟至少要飞行多少米？

答案：
规范解答：由题意可画出如图所示的图形，过点$D$作$DE\perp AB$，垂足为$E$，则$\angle BED = 90^{\circ}$，$AE = CD$，$DE = AC$，其中$AB = 10m$，$AC = 8m$，$CD = 4m$，所以$BE = AB - AE = AB - CD = 10 - 4 = 6(m)$。
在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理，得$BD^{2}=BE^{2}+DE^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，所以$BD = 10m$。
所以小鸟至少要飞行10 m。