《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例4 下列各数中，哪些是无理数?哪些是有理数?
$0,\frac{\pi}{2},-4,0.\dot{1}\dot{2},-\frac{11}{7},1.112\ 111\ 211·s,3.141\ 592\ 7$。

答案： 规范解答：无理数：$\frac{\pi}{2},1.112\ 111\ 211·s$；
有理数：$0,-4,0.\dot{1}\dot{2},-\frac{11}{7},3.141\ 592\ 7$。

类型 1 估计无理数的近似值
例1 设面积为$10\pi$的圆的半径为$x$。
(1)$x$是有理数吗？说明理由。
(2)$x$的整数部分是多少?
(3)将$x$保留到十分位是多少?

答案： 规范解答：
(1)$x$不是有理数。理由如下：
由圆的面积公式可得，$\pi x^2=10\pi$，
所以$x^2=10$。因为没有任何一个有理数的平方等于10，
所以$x$既不是整数也不是分数，即$x$不是有理数。
(2)由
(1)可知，$x^2=10$。
因为$3^2=9,4^2=16＞10$，
所以$3＜x＜4$，
所以$x$的整数部分是3。
(3)因为$3.1^2=9.61＜10,3.2^2=10.24＞10$，
所以$3.1＜x＜3.2$。
又因为$3.16^2=9.985\ 6＜10,3.17^2=10.048\ 9＞10$，
所以$3.16＜x＜3.17$，
所以$x\approx3.2$。
即将$x$保留到十分位是3.2。

类型 2 勾股定理与无理数
例2 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1,BC=2,则它的斜边 AB 的长是有理数还是无理数?若是有理数，求出其值；若是无理数，请你估计它的值在哪两个整数之间。

答案：
规范解答：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°,AC=1,BC=2。

由勾股定理，得$AB^2=AC^2+BC^2$，
所以$AB^2=1^2+2^2=5$。
因为没有任何一个有理数的平方等于5，
所以AB的长是无理数。
因为$2^2=4＜5,3^2=9＞5$，
所以$2＜AB＜3$。
所以AB的值在2与3之间。