《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例8 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A=90^{\circ},AB=AC,\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D,CE\perp BD$，交$BD$的延长线于点$E$，若$BD=8$，则$CE=$。
思路分析:延长$BA,CE$，相交于点$F$，结合已知条件得$\triangle BFE\cong\triangle BCE,\triangle ACF\cong\triangle ABD$，得到$EF=CE,CF=BD$，进而求解。

答案：
规范解答:如图，延长$BA,CE$，相交于点$F$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle FBE=\angle CBE$。
因为$CE\perp BD$，
所以$\angle BEC=\angle BEF=90^{\circ}$。
在$\triangle BFE$和$\triangle BCE$中，
因为$\angle FBE=\angle CBE,BE=BE,\angle BEF=\angle BEC$，
所以$\triangle BFE\cong\triangle BCE(ASA)$，
所以$EF=CE$。
因为$\angle BAC=90^{\circ}$，
所以$\angle CAF=90^{\circ}$，
又$CE\perp BD$，
所以$\angle ACF+\angle F=90^{\circ},\angle ABD+\angle F=90^{\circ}$，
所以$\angle ABD=\angle ACF$。
在$\triangle ABD$和$\triangle ACF$中，
因为$\angle ABD=\angle ACF,AB=AC,\angle BAD=\angle CAF$，
所以$\triangle ABD\cong\triangle ACF(ASA)$，
所以$BD=CF$。
因为$CF=CE+EF=2CE$，
所以$BD=2CE=8$，
所以$CE=4$。
答案:4

例9 如图，$AM// BN,\angle MAB,\angle NBA$的平分线交于点$C$，过点$C$作一直线交$AM$于点$D$，交$BN$于点$E$。试说明:$AB=AD+BE$。

思路分析:要说明$AB=AD+BE$，可以在$AB$上截取$AF=AD$，然后说明$BF=BE$;也可以在$AB$上截取$BF=BE$，然后说明$AF=AD$。

答案：
规范解答:如图，在$AB$上截取$AF=AD$，连接$CF$。

因为$AC$平分$\angle MAB,BC$平分$\angle NBA$，
所以$\angle DAC=\angle FAC,\angle CBF=\angle CBE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle AFC$中，
因为$AD=AF,\angle DAC=\angle FAC,AC=AC$，
所以$\triangle ADC\cong\triangle AFC(SAS)$，
所以$\angle ADC=\angle AFC$。
因为$AM// BN$，
所以$\angle ADC+\angle CEB=180^{\circ}$，
又$\angle AFC+\angle CFB=180^{\circ}$，
所以$\angle CEB=\angle CFB$。
在$\triangle CFB$和$\triangle CEB$中，
因为$\angle CFB=\angle CEB,\angle CBF=\angle CBE,BC=BC$，
所以$\triangle CFB\cong\triangle CEB(AAS)$，
所以$BF=BE$。
又因为$AD=AF$，
所以$AB=AF+FB=AD+BE$。