《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例4 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$\angle B = 120^{\circ}$，$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$。若$AC = 6\ cm$，则$AD =$$ cm$。

答案：
规范解答：如图，连接$BD$。因为$\angle ABC = 120^{\circ}$，$AB = BC$，所以$\angle A = \angle C = 30^{\circ}$，又由$AB$的垂直平分线交$AC$于点$D$，可知$AD = BD$，所以$\angle A = \angle ABD = 30^{\circ}$，所以$\angle DBC = 90^{\circ}$，所以$DC = 2BD = 2AD$。因为$AC = 6\ cm$，$AC = AD + DC = 3AD$，所以$AD = \frac{1}{3} × 6 = 2( cm)$。
答案：$2$

类型1 等腰三角形的性质
例1 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$60^{\circ}$，则这个等腰三角形的顶角为 ()

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$30^{\circ}$或$150^{\circ}$

答案：
规范解答：如图1，当这个等腰三角形为锐角三角形时，由三角形的内角和为$180^{\circ}$可得，其顶角为$30^{\circ}$；
如图2，当这个等腰三角形为钝角三角形时，垂足落到三角形外面，因为三角形的内角和为$180^{\circ}$，由图可以看出这个等腰三角形的顶角的补角为$30^{\circ}$，所以其顶角为$150^{\circ}$。故选D。

答案：D

类型2 等边三角形的性质

例2 如图，在等边三角形$ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，$BD = BF$，则$\angle CDF$的度数是 (B)

A.$10^{\circ}$
B.$15^{\circ}$
C.$20^{\circ}$
D.$25^{\circ}$

答案： 规范解答：因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$\angle ABC = 60^{\circ}$。
因为$BD$平分$\angle ABC$，
所以$\angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
因为$BD = BF$，
所以$\angle BDF = \frac{1}{2}(180^{\circ} - \angle DBC) = \frac{1}{2} × (180^{\circ} - 30^{\circ}) = 75^{\circ}$。
又因为在等边三角形$ABC$中，$BD$平分$\angle ABC$，
所以$BD \perp AC$，
所以$\angle BDC = 90^{\circ}$，
所以$\angle CDF = \angle BDC - \angle BDF = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$。
答案：B

类型3 等腰三角形的判定
例3 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$BC$，$AC$上，且$BE = CF$，$AD + EC = AB$。
(1)$\triangle DEF$是等腰三角形吗？为什么？
(2)当$\angle A = 40^{\circ}$时，求$\angle DEF$的度数。
(3)$\triangle DEF$可能是等腰直角三角形吗？为什么？
(4)请你猜想：当$\angle A$为多少度时，$\angle EDF + \angle EFD = 120^{\circ}$？请说明理由。

答案： 规范解答：
(1)$\triangle DEF$是等腰三角形。理由如下：
因为$AB = AC$，所以$\angle B = \angle C$。
因为$AD + EC = AB = AD + DB$，所以$EC = DB$。
在$\triangle DBE$和$\triangle ECF$中，
因为$BE = CF$，$\angle B = \angle C$，$DB = EC$，
所以$\triangle DBE \cong \triangle ECF( SAS)$，
所以$DE = EF$，所以$\triangle DEF$是等腰三角形。
(2)因为$\angle A = 40^{\circ}$，$\angle B = \angle C$，
所以$\angle B = \angle C = 70^{\circ}$，
所以$\angle BDE + \angle DEB = 110^{\circ}$。
因为$\triangle DBE \cong \triangle ECF$，
所以$\angle EDB = \angle FEC$，
所以$\angle FEC + \angle DEB = 110^{\circ}$，
所以$\angle DEF = 70^{\circ}$。
(3)$\triangle DEF$不可能是等腰直角三角形。理由如下：
假设$\triangle DEF$是等腰直角三角形，即$\angle DEF = 90^{\circ}$，
所以$\angle DEB + \angle FEC = 90^{\circ}$，即$\angle BDE + \angle DEB = 90^{\circ}$。
所以$\angle B = \angle C = 90^{\circ}$。
这与三角形的内角和定理相矛盾，
所以$\triangle DEF$不可能是等腰直角三角形。
(4)猜想：$\angle A = 60^{\circ}$。理由如下：
当$\angle A = 60^{\circ}$时，$\angle B = \angle C = 60^{\circ}$，
则$\angle DEB + \angle BDE = 180^{\circ} - \angle B = 120^{\circ}$。
因为$\angle FEC = \angle BDE$，
所以$\angle FEC + \angle DEB = 120^{\circ}$，
所以$\angle DEF = 60^{\circ}$，
所以$\angle EDF + \angle EFD = 120^{\circ}$。