《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例1 如图，$\triangle ABH$，$\triangle BCG$，$\triangle CDF$和$\triangle DAE$是四个全等的直角三角形，四边形$ABCD$和四边形$EFGH$都是正方形，如果$AB = 10$，$AH = 6$，那么$EF =$2。

思路分析：由题意知$EF = HG$，$BG = AH$，则在$ Rt \bigtriangleup ABH$中，由$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}$可求得$HB$的长，进而求出$EF$的长。

答案： 规范解答：因为$\triangle ABH \cong \triangle BCG$，
所以$AH = BG = 6$。
因为四边形$EFGH$是正方形，
所以$AH \bot BH$，$EF = HG$。
在$ Rt \bigtriangleup ABH$中，由勾股定理，得$AB^{2}=AH^{2}+HB^{2}$，
即$10^{2}=6^{2}+HB^{2}$，所以$HB = 8$，
所以$EF = HG = HB - BG = 8 - 6 = 2$。
答案：2

例2 如图所示，有一张直角三角形
纸片$ABC$，其中$AC = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$，现将直角边$AC$沿$AD$折叠，使点$C$落在斜边$AB$上的点$E$处，试求$CD$的长。

思路分析：根据勾股定理很容易求出斜边$AB$的长，由折叠的性质可知，$\angle DEA = \angle C = 90^{\circ}$，$AE = AC = 6\ cm$，$CD = DE$，可在$ Rt \bigtriangleup BDE$中求出$DE$，从而求得$CD$的长。

答案： 规范解答：在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，$AC = 6\ cm$，$BC = 8\ cm$，
由勾股定理，得$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=6^{2}+8^{2}=100$，
所以$AB = 10\ cm$。
由折叠可知，$\angle DEA = \angle C = 90^{\circ}$，$AE = AC = 6\ cm$，$CD = DE$，
所以$BE = AB - AE = 10 - 6 = 4( cm)$。
设$CD = x\ cm$，则$DE = x\ cm$，$BD = (8 - x) cm$，
在$ Rt \bigtriangleup BDE$中，由勾股定理，得$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$，即$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，解得$x = 3$。
所以$CD$的长为$3\ cm$。

例3 葛藤是一种多年生草质藤本植物，为获得更多的雨露和阳光，其茎蔓常绕着附近的树干盘旋而上。若把树干看成圆柱体，则它的底面周长为$3$尺，现有一段葛藤绕树干盘旋一周后升高$4$尺，则这段葛藤盘旋的最短距离是(尺是我国市制长度单位$)$ ()

A.$3$尺
B.$4$尺
C.$5$尺
D.$6$尺
思路分析：将立体图形展开成平面图形，构造直角三角形，再利用勾股定理求解。

答案：
规范解答：示意图如图，由题意可知$AB = 3$尺，$BC = 4$尺。在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=25 = 5^{2}$，所以$AC = 5$尺，故这段葛藤盘旋的最短距离是$5$尺。

答案：C

例4 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了$1\ m$，当他把绳子下端拉开$5\ m$后，发现下端刚好与地面接触，求旗杆的高度。

思路分析：根据题意画出图形，再根据勾股定理求解。

答案：
规范解答：根据题意画出图形如图。

设旗杆高$AB$为$x\ m$，则绳长$AC = (x + 1) m$。
在$ Rt \bigtriangleup ABC$中，由勾股定理，得$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$，
即$x^{2}+5^{2}=(x + 1)^{2}$，解得$x = 12$。
故旗杆的高度为$12\ m$。