《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例3 求下列各式的值：
(1)$\sqrt[3]{-64}$；
(2)$-\sqrt[3]{0.216}$；
(3)$\sqrt[3]{(-3)^3}$；
(4)$(\sqrt[3]{-1})^3$。

答案： 规范解答：
(1) 因为$(-4)^3 = -64$，
所以$\sqrt[3]{-64} = -4$。
(2) 因为$0.6^3 = 0.216$，
所以$-\sqrt[3]{0.216} = -0.6$。
(3)$\sqrt[3]{(-3)^3} = -3$。
(4)$(\sqrt[3]{-1})^3 = -1$。

类型 1 立方根的相关计算
例1 已知$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{\frac{7}{8}} = 0$，则$a$的值是 (B)

A.$\frac{7}{8}$
B.$-\frac{7}{8}$
C.$\pm\frac{7}{8}$
D.$-\frac{343}{512}$

答案： 规范解答：因为$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{\frac{7}{8}} = 0$，
所以$\sqrt[3]{a} = -\sqrt[3]{\frac{7}{8}}$，
所以$a = -\frac{7}{8}$。
答案：B

例2 已知$\sqrt[3]{3y - 1}$和$\sqrt[3]{1 - 2x}$互为相反数（$x$和$y$不为$0$），求$\frac{x}{y}$的值。

答案： 规范解答：由题意，得$\sqrt[3]{3y - 1} + \sqrt[3]{1 - 2x} = 0$，
所以$\sqrt[3]{3y - 1} = -\sqrt[3]{1 - 2x}$，
所以$3y - 1 = -(1 - 2x)$，即$3y - 1 = -1 + 2x$，
所以$3y = 2x$，
所以$\frac{x}{y} = \frac{3}{2}$。
类题巧解
若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，进而通过立方或开立方进行计算。

类型 2 立方根的实际应用
例3 现在要将长$80 cm$、宽$40 cm$、高$20 cm$的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，那么锻造成的正方体铁块的棱长为多少厘米？

答案： 规范解答：设锻造成的正方体铁块的棱长为$x cm$。
根据题意，得$x^3 = 80 × 40 × 20$，
即$x^3 = 64000$，
所以$x = \sqrt[3]{64000} = 40$。
所以锻造成的正方体铁块的棱长为$40 cm$。

例4 一个长方体容器长$20 cm$、宽$10 cm$，在这个容器内放一个正方体铁块，加满水后取出铁块，水面下降了$5 cm$，求这个正方体铁块的棱长。

答案： 规范解答：设这个正方体铁块的棱长为$x cm$。
根据题意，得$x^3 = 20 × 10 × 5$，
即$x^3 = 1000$，
所以$x = \sqrt[3]{1000} = 10$。
所以这个正方体铁块的棱长为$10 cm$。
类题巧解
解答此类题要明确各类几何体的体积公式和几何体变化前后的体积关系。