《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

类型4 等边三角形的判定
例4 如图，在$\triangle EBD$中，$BE = DE$，点$C$在$BD$上，$CE = CD$，$BE \perp CE$，$A$是$CE$延长线上一点，$EA = EC$。试判断$\triangle ABC$的形状，并说明理由。

答案： 规范解答：$\triangle ABC$是等边三角形。理由如下：
因为$CE = CD$，
所以$\angle CED = \angle D$。
因为$\angle CED + \angle D + \angle ECD = 180^{\circ}$，$\angle ECB + \angle ECD = 180^{\circ}$，
所以$\angle ECB = \angle CED + \angle D = 2\angle D$。
因为$BE = DE$，
所以$\angle EBC = \angle D$，
所以$\angle ECB = 2\angle EBC$。
因为$BE \perp CE$，
所以$\angle BEC = 90^{\circ}$，所以$\angle EBC + \angle ECB = 90^{\circ}$，
所以$3\angle EBC = 90^{\circ}$，解得$\angle EBC = 30^{\circ}$，则$\angle ECB = 60^{\circ}$。
又因为$BE \perp CE$，$AE = CE$，
所以$AB = BC$，所以$\triangle ABC$是等边三角形。

类型5 含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质
例5 如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，且$AE = CD$，$BE$与$AD$相交于点$P$，$BQ \perp AD$于点$Q$。
(1)试说明：$BE = AD$；
(2)若$PQ = 4$，求$BP$的长。

答案： 规范解答：
(1)因为$\triangle ABC$为等边三角形，
所以$AB = CA$，$\angle BAC = \angle C = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中，
因为$AB = CA$，$\angle BAE = \angle ACD$，$AE = CD$，
所以$\triangle ABE \cong \triangle CAD( SAS)$，
所以$BE = AD$。
(2)因为$\triangle ABE \cong \triangle CAD$，
所以$\angle ABE = \angle CAD$，
所以$\angle ABE = \angle CAD$，
所以$\angle BPQ = 180^{\circ} - \angle APB = \angle ABP + \angle BAP = \angle CAD + \angle BAP = \angle BAC = 60^{\circ}$。
又因为$BQ \perp AD$，
所以$\angle BQP = 90^{\circ}$，
所以$\angle PBQ = 180^{\circ} - \angle BPQ - \angle BQP = 30^{\circ}$，
所以$BP = 2PQ$。
因为$PQ = 4$，所以$BP = 8$。