《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

类型 1 利用勾股定理求线段长
例1 已知一个直角三角形的两直角边长分别为5，12，求这个直角三角形斜边上的高。

答案： 规范解答：设这个直角三角形的直角边$a = 5$，$b = 12$，斜边为$c$，斜边上的高为$h$，面积为$S$。
因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，
所以$c^{2}=a^{2}+b^{2}=5^{2}+12^{2}=169$，所以$c = 13$。
又因为$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
所以$h=\frac{ab}{c}=\frac{5×12}{13}=\frac{60}{13}$。
即斜边上的高为$\frac{60}{13}$。
类题巧解
利用勾股定理求未知线段长，一般将此线段放入直角三角形中进行求解。

类型 2 勾股定理的实际应用
例2 如图，小刚家要在高$BC$为6 m、斜坡长$AB$为10 m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少为多少米？

答案： 规范解答：观察可知，楼梯水平方向的长度和为$AC$，竖直方向的长度和为$BC$，所以地毯的长度为$AC + BC$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}-BC^{2}=10^{2}-6^{2}=100 - 36 = 64$，
所以$AC = 8m$。
所以$AC + BC = 8 + 6 = 14(m)$，
所以地毯的长度至少为14 m。

例3 如图，公路$PN$和公路$PQ$在点$P$处交汇，且$\angle QPN = 30^{\circ}$，点$A$处有一所中学，$AP = 160m$，假设一拖拉机在公路$PN$上沿$NP$方向行驶，周围100 m以内会受到噪声影响，那么学校是否会受到噪声影响？若学校会受到噪声影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，则学校受到噪声影响的时间有多长$(1m/s = 3.6km/h)$？

答案：
规范解答：由题意可抽象出如图所示的图形，过点$A$作$AB\perp PN$，垂足为$B$。

因为$\angle QPN = 30^{\circ}$，
所以$AB=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×160 = 80(m)$。
因为$80＜100$，
所以学校会受到噪声影响。
在$PN$上找两点$C$，$D$，使$AC = AD = 100m$。这说明拖拉机在公路$PN$上沿$NP$方向行驶到点$D$处时，学校开始受到噪声影响，当行驶到点$C$处时，学校开始脱离噪声影响。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$BC^{2}=AC^{2}-AB^{2}=100^{2}-80^{2}=3600$，
所以$BC = 60m$。
因为$AC = AD$，$AB\perp CD$，
所以$BC = BD$，
所以$CD = 2BC = 2×60 = 120(m)$。
因为$1m/s = 3.6km/h$，
所以$18km/h = 5m/s$，
所以学校受到噪声影响的时间为$120÷5 = 24(s)$。
类题巧解
勾股定理在实际生活中应用广泛，解决相关问题时，首先从实际问题中抽象出数学图形，从中找到或添加辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理求得线段的长。