《2025年PASS教材搭档七年级数学上册鲁教版》

例 若一个三位数$xyz$的各位数字是任意三个连续的正整数，则$\overline{xyz} ÷ 3$的最小值是41，最大值是329。

答案： 规范解答：当$x = 1,y = 2,z = 3$时，$123 ÷ 3 = 41$；当$x = 9,y = 8,z = 7$时，$987 ÷ 3 = 329$。
答案:41 329

例1 观察下列等式：
第1个等式:$a_1 = \frac{1}{1 × 3} = \frac{1}{2} × (1 - \frac{1}{3})$；
第2个等式:$a_2 = \frac{1}{3 × 5} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$；
第3个等式:$a_3 = \frac{1}{5 × 7} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{5} - \frac{1}{7})$；
第4个等式:$a_4 = \frac{1}{7 × 9} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{7} - \frac{1}{9})$；
$·s ·s$
(1)列出第5个等式:$a_5 =$$\frac{1}{9 × 11} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$；
(2)列出第$n$个等式:$a_n =$$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$；

答案： 答案:
(1)$\frac{1}{9 × 11} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{9} - \frac{1}{11})$
(2)$\frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{1}{2} × (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$

例2 试说明：若四边形$ABCD$各内角的平分线只交于一点$O$，则$AB + CD = AD + BC$。

答案：
规范解答：特殊情形：显然当四边形$ABCD$是正方形时，$AB + CD = AD + BC$成立。
一般情形：如图，过点$O$作四边形$ABCD$各边的垂线，垂足分别为$E,F,G,H$。

在$\triangle AOE$与$\triangle AOH$中，
因为$\angle OAE = \angle OAH$，$\angle OEA = \angle OHA$，$AO = AO$，
所以$\triangle AOE \cong \triangle AOH$(AAS)，
所以$AE = AH$。
同理，$DH = DG$，$BE = BF$，$CF = CG$。
因为$AB + CD = AE + BE + DG + CG$，$AD + BC = AH + BF + DH + CF$，
所以$AB + CD = AD + BC$。
类题巧解
对于此类问题，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题。