《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

1. 集合$\{(x,y)|y = 3x + 1\}$表示(D)。

A.函数$y = 3x + 1$
B.点$(x,y)$
C.平面直角坐标系中所有的点组成的集合
D.函数$y = 3x + 1$的图象上的所有点组成的集合

答案： D 解析 由集合描述法的定义可知，该集合表示函数$y = 3x + 1$的图象上的所有点组成的集合.

2. 设集合$M = \{a^{2}-a,0\}$，若$a\in M$，则实数$a$的值为(B)。

A.$0$
B.$2$
C.$2$或$0$
D.$2$或$-2$

答案： B 解析 $\because$集合$M = \{a^{2}-a,0\}$，$\therefore a^{2}-a \neq 0$，即$a \neq 0$，且$a \neq 1$.又$a \in M$，$\therefore a = a^{2}-a$，$\therefore a = 2$.故选B.

3. 已知集合$M = \{a\in\mathbf{Z}|\frac{6}{5 - a}\in\mathbf{N}^{*}\}$，则$M$等于(D)。

A.$\{2,3\}$
B.$\{1,2,3,4\}$
C.$\{1,2,3,6\}$
D.$\{-1,2,3,4\}$

答案： D 解析 因为集合$M = \{a \in \mathbf{Z} \mid \frac{6}{5 - a} \in \mathbf{N}^{*}\}$，所以$5 - a$可能为1,2,3,6，即$a$可能为4,3,2,-1，所以$M = \{-1,2,3,4\}$，故选D.

4. (多选题)已知集合$A = \{x|x = 2m - 1,m\in\mathbf{Z}\}$，$B = \{x|x = 2n,n\in\mathbf{Z}\}$，且$x_{1}$，$x_{2}\in A$，$x_{3}\in B$，则下列判断正确的是(ABC)。

A.$x_{1}x_{2}\in A$
B.$x_{2}x_{3}\in B$
C.$x_{1}+x_{2}\in B$
D.$x_{1}+x_{2}+x_{3}\in A$

答案： ABC 解析 由题意，可知集合A表示奇数集，B表示偶数集，则$x_{1},x_{2}$是奇数，$x_{3}$是偶数，因此$x_{1} + x_{2} + x_{3}$应为偶数，即$x_{1} + x_{2} + x_{3} \notin A$，D错误；A,B,C显然正确.

5. 一次函数$y = 2x$与$y = 3x - 2$的图象的交点组成的集合用列举法表示为\{(2,4)\}。

答案： \{(2,4)\}

6. 已知集合$A$是由$0$，$m$，$m^{2}-3m + 2$三个元素组成的集合，且$2\in A$，则实数$m =$3，集合$A =$\{0,2,3\}。

答案： 3 \{0,2,3\}

7. 设集合$A = \{1,-2,a^{2}-1\}$，$B = \{1,a^{2}-3a,0\}$，若$A$，$B$相等，则实数$a =$1。

答案： 1

8. 选择适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有$31$天的月份组成的集合；
（2）由直线$y = -x + 4$上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合。

答案： 解
(1)\{1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月\}.
(2)用描述法表示该集合为$\{(x,y) \mid y = -x + 4,x \in \mathbf{N},y \in \mathbf{N}\}$，或用列举法表示该集合为$\{(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)\}$.

9. 已知集合$A = \{x|ax^{2}-3x + 2 = 0\}$，其中$a$为常数，且$a\in\mathbf{R}$。
（1）若集合$A$中至少有一个元素，求$a$的取值范围；
（2）若集合$A$中至多有一个元素，求$a$的取值范围。

答案： 解
(1)当集合A中恰有一个元素时，若$a = 0$，则方程化为$-3x + 2 = 0$，此时关于$x$的方程$ax^{2}-3x + 2 = 0$只有一个实数根$x = \frac{2}{3}$；若$a \neq 0$，则令$\Delta = 9 - 8a = 0$，解得$a = \frac{9}{8}$，此时关于$x$的方程$ax^{2}-3x + 2 = 0$有两个相等的实数根.当集合A中有两个元素时，则$a \neq 0$，且$\Delta = 9 - 8a ＞ 0$，解得$a ＜ \frac{9}{8}$，且$a \neq 0$，此时关于$x$的方程$ax^{2}-3x + 2 = 0$有两个不相等的实数根.
综上，当$a \leqslant \frac{9}{8}$时，集合A中至少有一个元素.
(2)当集合A中没有元素时，则$a \neq 0$，$\Delta = 9 - 8a ＜ 0$，解得$a ＞ \frac{9}{8}$，此时关于$x$的方程$ax^{2}-3x + 2 = 0$没有实数根.当集合A中恰有一个元素时，由
(1)知，此时$a = 0$或$a = \frac{9}{8}$.
综上，当$a = 0$或$a \geqslant \frac{9}{8}$时，集合A中至多有一个元素.