《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练】使不等式 $-4 \leq x + 1 \leq 4$ 成立的一个必要条件是(B).

A.$2 \leq x \leq 3$
B.$-6 \leq x \leq 3$
C.$-5 \leq x \leq 2$
D.$-6 \leq x \leq 2$

答案： B 解析 因为$-4 \leqslant x + 1 \leqslant 4$，所以$-5 \leqslant x \leqslant 3$，又$-5 \leqslant x \leqslant 3 \Rightarrow -6 \leqslant x \leqslant 3$，所以“$-6 \leqslant x \leqslant 3$”是“$-5 \leqslant x \leqslant 3$”的必要条件.故选B.

1. 若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，则 $q$ 是 $p$ 的(B).

A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件也不是必要条件
D.既是充分条件又是必要条件

答案： 1.B

2. (多选题)下列式子中，可以是 $x^{2} ＜ 1$ 的充分条件的为(BCD).

A.$x ＜ 1$
B.$0 ＜ x ＜ 1$
C.$-1 ＜ x ＜ 1$
D.$-1 ＜ x ＜ 0$

答案： 2.BCD 解析由于$x^2＜1$，即$-1＜x＜1$，故选项A显然不能使$-1＜x＜1$成立，选项B，C，D满足题意.

3. 设 $p$：$-1 \leq x ＜ 2$，$q$：$x ＜ a$，若 $q$ 是 $p$ 的必要条件，则 $a$ 的取值范围是(C).

A.$\{a | a \leq -1\}$
B.$\{a | a \leq -1$ 或 $a \geq 2\}$
C.$\{a | a \geq 2\}$
D.$\{a | -1 \leq a ＜ 2\}$

答案： 3.C 解析 因为q是p的必要条件，所以$p \Rightarrow q$，在数轴上表示出$-1 \leqslant x ＜ 2$，借助数轴可知$a \geqslant 2$.

4. 已知 $A \subseteq B$，则“$x \in A$”是“$x \in B$”的充分条件，“$x \in B$”是“$x \in A$”的必要条件.

答案： 4.充分 必要 解析 因为$A \subseteq B$，由子集的定义，知$x \in A \Rightarrow x \in B$，所以“$x \in A$”是“$x \in B$”的充分条件；“$x \in B$”是“$x \in A$”的必要条件.

5. 已知“若 $q$，则 $p$”为真命题，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件.

答案： 5.必要 解析 因为“若q，则p”为真命题，所以$q \Rightarrow p$，即p是q的必要条件.

6. 若“$x ＞ 1$”是“$x ＞ a$”的充分条件，则 $a$ 的取值范围是$\{a \mid a \leqslant 1\}$.

答案： 6.$\{a \mid a \leqslant 1\}$

7. 将下列命题改写成“若 $p$，则 $q$”的形式，并判断其真假.
(1)末位数字是 0 或 5 的整数，能被 5 整除；
(2)方程 $x^{2} - x + 1 = 0$ 有两个实数根；
(3)正 $n$ 边形($n \geq 3$)的 $n$ 个内角全相等.

答案： 7.解
(1)若一个整数的末位数字是0或5，则这个整数能被5整除.真命题.
(2)若一个方程是$x^2 - x + 1 = 0$，则它有两个实数根.假命题.
(3)若一个多边形是正n边形($n \geqslant 3$)，则这个正n边形的n个内角全相等.真命题.