《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例2】已知函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(-x^{2}+2x + 1)$。
(1) 求$f(x)$的单调区间；
(2) 求$f(x)$的值域。

答案： 【例2】解
(1)由$-x^{2} + 2x + 1 ＞ 0$，解得$1 - \sqrt{2} ＜ x ＜ 1 + \sqrt{2}$．所以函数的定义域为$(1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$． 设$g(x) = -x^{2} + 2x + 1$，则$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}g(x)$． 又$g(x) = -(x - 1)^{2} + 2$， 所以当$x \in (1 - \sqrt{2}, 1)$时，$g(x)$单调递增. 所以$f(x)$在区间$(1 - \sqrt{2}, 1)$内单调递减. 当$x \in (1, 1 + \sqrt{2})$时，$g(x)$单调递减. 所以$f(x)$在区间$(1, 1 + \sqrt{2})$内单调递增. 故函数$f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(-x^{2} + 2x + 1)$的单调递增区间为$(1, 1 + \sqrt{2})$，单调递减区间为$(1 - \sqrt{2}, 1)$．
(2)设$t = -x^{2} + 2x + 1$，可知$t = -(x - 1)^{2} + 2$，由$1 - \sqrt{2} ＜ x ＜ 1 + \sqrt{2}$，可知$0 ＜ t \leq 2$． 因为$y = \log_{\frac{1}{2}}t$在区间$(0, 2]$上单调递减，而$\log_{\frac{1}{2}}2 = -1$，所以函数$f(x)$的值域为$[-1, +\infty)$．

【变式训练1】若函数$f(x)=\log_{a}(6 - ax)$在区间$[0,2]$上单调递减，则实数$a$的取值范围是(B)。

A.$(0,1)$
B.$(1,3)$
C.$(1,3]$
D.$[3,+\infty)$

答案： 【变式训练1】B 解析函数$f(x)$由$y = \log_{a}u$，$u = 6 - ax$复合而成.因为$a ＞ 0$，所以$u = 6 - ax$在区间$[0, 2]$上单调递减.因为$f(x)$在区间$[0, 2]$上单调递减，所以函数$y = \log_{a}u$在定义域上单调递增.所以$a ＞ 1$．又当$x = 2$时，$u = 6 - ax$取得最小值，所以$6 - 2a ＞ 0$，解得$a ＜ 3$，所以$1 ＜ a ＜ 3$．

【例3】已知$f(x)=\log_{a}(a^{x}-1)(a\gt0$，且$a\neq1)$。
(1) 求$f(x)$的定义域；
(2) 讨论$f(x)$的单调性；
(3) 解方程：$f(2x)=\log_{a}(a^{x}+1)$。

答案： 【例3】解
(1)由$a^{x} - 1 ＞ 0$，得$a^{x} ＞ 1$． 所以当$a ＞ 1$时，函数的定义域为$(0, +\infty)$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数的定义域为$(-\infty, 0)$．
(2)当$a ＞ 1$时，设$0 ＜ x_{1} ＜ x_{2}$，即$a^{x_{2}} - 1 ＞ a^{x_{1}} - 1 ＞ 0$，所以$\log_{a}(a^{x_{2}} - 1) ＞ \log_{a}(a^{x_{1}} - 1)$， 即$f(x_{2}) ＞ f(x_{1})$．所以当$a ＞ 1$时，$f(x)$在区间$(0, +\infty)$内单调递增. 同理可得，当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x)$在区间$(-\infty, 0)$内单调递增.
(3)由$f(2x) = \log_{a}(a^{x} + 1)$，得$\log_{a}(a^{2x} - 1) = \log_{a}(a^{x} + 1)$，即$a^{2x} - 1 = a^{x} + 1$，即$a^{2x} - a^{x} - 2 = 0$，即$a^{x} = 2$(舍去$a^{x} = -1$)．所以$x = \log_{a}2$．

【变式训练2】设函数$f(x)=\log_{2}(a^{x}-b^{x})$，且$f(1)=1$，$f(2)=\log_{2}12$。
(1) 求$a$，$b$的值；
(2) 当$x\in[1,3]$时，求$f(x)$的最大值。

答案： 【变式训练2】解
(1)由$\begin{cases} f(1) = 1, \\ f(2) = \log_{2}12, \end{cases}$ 得$\begin{cases} \log_{2}(a - b) = 1, \\ \log_{2}(a^{2} - b^{2}) = \log_{2}12. \end{cases}$ 所以$\begin{cases} a - b = 2, \\ a^{2} - b^{2} = 12, \end{cases}$ 即$\begin{cases} a - b = 2, \\ a + b = 6, \end{cases}$所以$\begin{cases} a = 4, \\ b = 2. \end{cases}$
(2)由
(1)知$f(x) = \log_{2}(4^{x} - 2^{x})$，设$t = 2^{x}$， 由$x \in [1, 3]$，可知$t \in [2, 8]$． 令$u = 4^{x} - 2^{x} = t^{2} - t = (t - \frac{1}{2})^{2} - \frac{1}{4}$， 因此当$t = 8$，即$x = 3$时，$u_{\max} = 56$． 故$f(x)$的最大值为$\log_{2}56$．