《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

2. 函数 $ f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { x + 1 } } $ 的定义域为(B)。

A.$ [ - 1, + \infty ) $
B.$ ( - 1, + \infty ) $
C.$ ( - 1,0 ) \cup ( 0, + \infty ) $
D.$ [ 0, + \infty ) $

答案： B

3. 下列各函数中，与 $ y = 1 $ 表示同一个函数的是(C)。

A.$ y = ( x + 1 ) ^ { 0 } $
B.$ y = \frac { | x | } { x } $
C.$ y = \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x ^ { 2 } + 1 } $
D.$ y = \sqrt { x } · \frac { 1 } { \sqrt { x } } $

答案： C

4. 若集合 $ A = ( - 2,8 ] $，$ B = ( - 1,10 ] $，则 $ \complement _ { \mathbf { R } } ( A \cap B ) = $(-∞,-1]∪(8,+∞)。

答案： $(-\infty,-1]\cup(8,+\infty)$

【例 1】给出下列对应关系，其中是从 $ A $ 到 $ B $ 的函数的有②④。(填序号)
①$ A = \mathbf { R } $，$ B = \{ x | x ＞ 0 \} $，$ f : x \to y = | 2 x | $；
②$ A = \mathbf { Z } $，$ B = \mathbf { Z } $，$ f : x \to y = x ^ { 2 } - 1 $；
③$ A = \mathbf { R } $，$ B = [ 1, + \infty ) $，$ f : x \to y = \sqrt { x + 1 } $；
④$ A = [ - 2,4 ] $，$ B = \{ 1 \} $，$ f : x \to y = 1 $；
⑤$ A = \mathbf { R } $，$ B = \mathbf { R } $，$ f : x \to y = \frac { 1 } { x + 2 } $。

答案： ②④

【变式训练 1】下列对应或关系式中是 $ A $ 到 $ B $ 的函数的是(B)。

A.$ A = \mathbf { R } $，$ B = \mathbf { R } $，$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 $
B.$ A = \{ x | x \geq 1 \} $，$ B = \mathbf { R } $，$ \sqrt { x - 1 } + y - 1 = 1 $
C.$ A = \mathbf { R } $，$ B = \mathbf { R } $，$ f : x \to y = \frac { 1 } { x - 2 } $
D.$ A = \mathbf { Z } $，$ B = \mathbf { Z } $，$ f : x \to y = \sqrt { 2 x - 1 } $

答案： B

【例 2】求下列函数的定义域：
（1）$ f ( x ) = \sqrt { x - 2 } + \frac { 1 } { x - 6 } $；
（2）$ f ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } + 4 x + 3 } $；
（3）$ f ( x ) = ( x + 1 ) ^ { 0 } + \frac { 1 } { \sqrt { 3 - x } } $；
（4）矩形的周长为 60，其中一边的长为 $ x $，另一边的长 $ y $ 是关于 $ x $ 的函数 $ y = f ( x ) $。
延伸探究
本例（2）中，若已知函数 $ f ( x ) = \sqrt { a x ^ { 2 } + 4 x + 3 } $ 的定义域为 $ \mathbf { R } $，试求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 解（1）要使函数有意义，应满足$\begin{cases}x-2\geqslant0,\\x-6\neq0,\end{cases}$解得$x\geqslant2$，且$x\neq6$，故函数的定义域为$\{x|x\geqslant2,且x\neq6\}$。
（2）要使函数有意义，应满足$x^2+4x+3\geqslant0$，解得$x\geqslant-1$或$x\leqslant-3$，故函数的定义域为$\{x|x\geqslant-1,或x\leqslant-3\}$。
（3）要使函数有意义，应满足$\begin{cases}x+1\neq0,\\3-x＞0,\end{cases}$解得$x＜3$，且$x\neq-1$，故函数的定义域为$\{x|x＜3,且x\neq-1\}$。
（4）依题意，$x＞0$，且$2x+2y=60$，于是$y=f(x)=30-x$。又$y＞0$，所以$30-x＞0$，解得$x＜30$，故自变量$x$的取值范围是$0＜x＜30$，即函数$f(x)$的定义域为$(0,30)$。
【延伸探究】
解因为函数$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，所以$ax^2+4x+3\geqslant0$对一切实数$x$恒成立。
因此有$\begin{cases}a＞0,\\\Delta=4^2-12a\leqslant0,\end{cases}$解得$a\geqslant\frac{4}{3}$，即实数$a$的取值范围是$\left\{a\left|a\geqslant\frac{4}{3}\right.\right\}$。