《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练3】求证：$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=\frac{2\sin(\theta-\frac{3\pi}{2})\cos(\theta+\frac{\pi}{2})-1}{1-2\sin^2(\pi+\theta)}$。

答案： 【变式训练3】证明$\because$右边
$=\frac{-2\sin(\frac{3\pi}{2}-\theta)·(-\sin\theta)-1}{1 - 2\sin^{2}\theta}=$
$\frac{2\sin[\pi+(\frac{\pi}{2}-\theta)]\sin\theta - 1}{1 - 2\sin^{2}\theta}=$
$\frac{-2\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)\sin\theta - 1}{1 - 2\sin^{2}\theta}=$
$\frac{-2\cos\theta\sin\theta - 1}{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta - 2\sin^{2}\theta}=$
$\frac{-(\sin\theta+\cos\theta)^{2}}{\sin^{2}\theta - \cos^{2}\theta}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta - \cos\theta}=$左边，$\therefore$原等式成立.

对诱导公式记忆不准确致错
【典例】已知$\sin(\frac{\pi}{4}-\alpha)=a$，$0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，求$\sin(\frac{5\pi}{4}+\alpha)$的值。

答案： 正解 $\because0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，$\therefore-\frac{\pi}{4}＜\frac{\pi}{4}-\alpha＜\frac{\pi}{4}$。
$\therefore\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)＞0$。
$\therefore\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=\sqrt{1-\sin^2(\frac{\pi}{4}-\alpha)}=\sqrt{1-a^2}$。
$\therefore\sin(\frac{5\pi}{4}+\alpha)=\sin[\frac{3\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}-\alpha)]=-\cos(\frac{\pi}{4}-\alpha)=-\sqrt{1-a^2}$。

【变式训练】化简：$\frac{\sin(\theta-5\pi)·\cos(-\frac{\pi}{2}-\theta)·\cos(8\pi-\theta)}{\sin(\theta-\frac{3\pi}{2})·\sin(-\theta-4\pi)}$。

答案： 解原式$=\frac{-\sin\theta·(-\sin\theta)·\cos\theta}{\cos\theta·(-\sin\theta)}=$
$-\sin\theta$.