《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【典例】已知函数 $f(x)=x^{2}+1,g(x)=2x + 4$。若定义函数 $h(x)$：当 $f(x)\geqslant g(x)$ 时，$h(x)=f(x)-2g(x)$；当 $f(x)\lt g(x)$ 时，$h(x)=2f(x)-g(x)$。
（1）写出 $h(x)$ 的解析式；
（2）求 $h(h(g(-2)))$ 的值。

答案： （1）当 $f(x)\geqslant g(x)$，即 $x^{2}+1\geqslant2x + 4$ 时，解得 $x\leqslant - 1$ 或 $x\geqslant3$，此时 $h(x)=f(x)-2g(x)=x^{2}+1-2(2x + 4)=x^{2}-4x - 7$；当 $f(x)\lt g(x)$，即 $x^{2}+1\lt2x + 4$ 时，解得 $-1\lt x\lt3$，此时 $h(x)=2f(x)-g(x)=2(x^{2}+1)-(2x + 4)=2x^{2}-2x - 2$。
故 $h(x)=\begin{cases}x^{2}-4x - 7,x\leqslant - 1 或 x\geqslant3,\\2x^{2}-2x - 2,-1\lt x\lt3.\end{cases}$
（2）因为 $g(-2)=2×(-2)+4 = 0$，所以 $h(h(g(-2)))=h(h(0))$，而 $h(0)=2×0^{2}-2×0 - 2 = - 2$，所以 $h(h(g(-2)))=h(-2)=(-2)^{2}-4×(-2)-7 = 5$。

【变式训练】为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过 5 吨时，每吨水费收基本价 1.3 元，超过 5 吨而不超过 6 吨时，超过部分的水费加收 200%，超过 6 吨而不超过 7 吨时，超过部分的水费加收 400%。如果某人本季度实际用水量为 $x(x\leqslant7)$ 吨，那么本季度他应缴多少水费？

答案： 解 用y(单位：元)表示本季度应缴水费. 当0＜x≤5时，y₁ = 1.3x. 当5＜x≤6时，应把x分成两部分：5与(x - 5)分别计算，第一部分收基本水费1.3×5，第二部分由基本水费与加价水费组成，即1.3(x - 5)+1.3(x - 5)×200\% = 1.3(x - 5)(1 + 200\%)，则 y₂ = 1.3×5 + 1.3(x - 5)(1 + 200\%) = 3.9x - 13. 当6＜x≤7时，同理y₃ = 1.3×5 + 1.3×(6 - 5)×(1 + 200\%) + 1.3(x - 6)(1 + 400\%) = 6.5x - 28.6. 综上，$y=\begin{cases}1.3x, & 0＜x\leq5, \\3.9x - 13, & 5＜x\leq6, \\6.5x - 28.6, & 6＜x\leq7.\end{cases}$