《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【典例】设集合 $ A = \{ x | x ^ { 2 } - 3 x + 2 = 0 \} $，$ B = \{ x | x ^ { 2 } + 2 ( a - 1 ) x + ( a ^ { 2 } - 5 ) = 0 \} $，且 $ A \cup B = A $，求实数 $ a $ 的取值范围.

答案： 由x² - 3x + 2 = 0，解得x=1或x=2，故A={1,2}。
因为A∪B=A，所以B⊆A。
1. 当B=∅时，方程x² + 2(a - 1)x + (a² - 5)=0无实根，判别式Δ=24 - 8a ＜ 0，解得a ＞ 3。
2. 当B≠∅时，Δ≥0，即a ≤ 3。
若Δ=0，即a=3，方程为x² + 4x + 4=0，解得x=-2，B={-2}，不满足B⊆A。
若Δ＞0，即a ＜ 3，方程有两不同实根。因B⊆A，两根必为1和2。由韦达定理：1+2=-2(a - 1)且1×2=a² - 5，解得a=-1/2与a=±√7，矛盾，无解。
综上，a的取值范围为{a|a ＞ 3}。

【变式训练】若集合 $ P = \{ 1,2,3,m \} $，$ Q = \{ m ^ { 2 },3 \} $，且满足 $ P \cap Q = Q $，求 $ m $ 的值.

答案： [变式训练]解由$P\cap Q=Q$，可知$Q\subseteq P$，
得$m^{2}=1$或$m^{2}=2$或$m^{2}=m$.
解得$m=\pm1$或$m=\pm\sqrt{2}$或$m=0$.
经检验，当$m=1$时不满足集合中元素的互异性，舍去.故$m=-1$或$m=\pm\sqrt{2}$或$m=0$.