《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练3】用适当的方法表示下列集合：
（1）$24$的所有正因数组成的集合；
（2）在平面直角坐标系中，两坐标轴上的点组成的集合；
（3）三角形的全体组成的集合。

答案： 解
(1)24的正因数有1,2,3,4,6,8,12,24，故该集合用列举法表示为$\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$.
(2)集合的代表元素是$(x,y)$，共同特征是$x = 0$或$y = 0$，即$xy = 0$，故该集合用描述法表示为$\{(x,y) \mid xy = 0\}$.
(3)集合的代表元素是$x$，共同特征是$x$是三角形，故该集合用描述法表示为$\{x \mid x$是三角形$\}$.

【典例】若集合$A = \{x|kx^{2}-8x + 16 = 0\}$中只有一个元素，试求实数$k$的值，并用列举法表示集合$A$。
审题视角
集合$A$中只有一个元素，说明关于$x$的方程$kx^{2}-8x + 16 = 0$只有一个或两个相等的实数根，此方程不确定为一元二次方程，需要对系数$k$分$k = 0$和$k\neq0$讨论。

答案： 解 当$k = 0$时，原方程变为$-8x + 16 = 0$，解得$x = 2$。
此时集合$A = \{2\}$。
当$k\neq0$时，要使一元二次方程$kx^{2}-8x + 16 = 0$有两个相等的实数根，只需$\Delta = 64 - 64k = 0$，即$k = 1$。
此时方程的解为$x_{1} = x_{2} = 4$，集合$A = \{4\}$，满足题意。
综上所述，实数$k$的值为$0$或$1$。
当$k = 0$时，$A = \{2\}$；
当$k = 1$时，$A = \{4\}$。
【延伸探究】
解 由集合A中至少有一个元素可知，关于$x$的方程$kx^{2}-8x + 16 = 0$至少有一个根，分两种情况讨论：
①方程$kx^{2}-8x + 16 = 0$只有一个根，由例题的解答过程可知$k = 0$或$k = 1$；
②方程$kx^{2}-8x + 16 = 0$有两个不相等的根，需满足$k \neq 0$，且$\Delta = 64 - 64k ＞ 0$，解得$k ＜ 1$，且$k \neq 0$.
综上所述，$k$的取值范围是$k \leqslant 1$.