《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例 2】如图所示，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 $AE = 4$ 米，$CD = 6$ 米。为了合理利用这块钢板，在五边形 $ABCDE$ 内截取一个矩形 $BNPM$，使点 $P$ 在边 $DE$ 上。
(1)设 $MP = x$ 米，$PN = y$ 米，将 $y$ 表示成 $x$ 的函数，求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形 $BNPM$ 面积的最大值。
本例中，将(2)改为：若所截取的矩形 $BNPM$ 的面积不小于 42 平方米，试求 $x$ 的取值范围。
解二次函数模型的策略

(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数解析式)。
(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题。
(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象。

答案：
(1)如图，作$PQ\perp AF$，垂足为点$Q$，则$PQ = (8 - y)$米，$EQ = (x - 4)$米.因为$\triangle EPQ\sim\triangle EDF$，所以$\frac{EQ}{PQ} = \frac{EF}{FD}$，即$\frac{x - 4}{4} = \frac{8 - y}{2}$，所以$y = - \frac{1}{2}x + 10$，定义域为$\{x|4\leq x\leq8\}$.
(2)设矩形$BNPM$的面积为$S$平方米，则$S(x) = xy = x(10 - \frac{x}{2}) = - \frac{1}{2}(x - 10)^{2} + 50$. $S(x)$是关于$x$的二次函数，其图象开口向下，对称轴为直线$x = 10$，即当$x\in[4,8]$时，$S(x)$单调递增，故当$x = 8$米时，矩形$BNPM$的面积取得最大值，最大面积为$48$平方米.

【例 3】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$(单位：千米/时)是车流密度 $x$(单位：辆/千米)的函数。当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60 千米/时。研究表明，当 $20\leqslant x\leqslant200$ 时，车流速度 $v$ 是车流密度 $x$ 的一次函数。
(1)当 $0\lt x\leqslant200$ 时，求函数 $v(x)$ 的解析式；
(2)当车流密度 $x$ 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时) $f(x) = x· v(x)$ 可以达到最大？并求出最大值。(精确到 1 辆/时)
构建分段函数模型的关键点
建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式。

答案：
(1)由题意，当$0 ＜ x\leq20$时，$v(x) = 60$；当$20\leq x\leq200$时，设$v(x) = ax + b$，由已知得$\begin{cases}200a + b = 0,\\20a + b = 60,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - \frac{1}{3},\\b = \frac{200}{3}.\end{cases}$故函数$v(x)$的解析式为$v(x) = \begin{cases}60,0 ＜ x\leq20,\frac{1}{3}(200 - x),20 ＜ x\leq200.\end{cases}$
(2)依题意并结合
(1)可得$f(x) = \begin{cases}60x,0 ＜ x\leq20,\frac{1}{3}x(200 - x),20 ＜ x\leq200.\end{cases}$当$0 ＜ x\leq20$时，$f(x)$单调递增，故当$x = 20$时，$f(x)$在区间$(0,20]$内取得最大值，且最大值为$60×20 = 1200$；当$20 ＜ x\leq200$时，$f(x) = \frac{1}{3}x(200 - x) = - \frac{1}{3}(x - 100)^{2} + \frac{10000}{3}$，当且仅当$x = 100$时，等号成立.即当$x = 100$时，$f(x)$在区间$(20,200]$内取得最大值$\frac{10000}{3}$.综上，当$x = 100$时，$f(x)$在区间$(0,200]$内取得最大值$\frac{10000}{3} \approx 3333$.即当车流密度为$100$辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为$3333$辆/时.