《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例2】(1) 化简：$\frac{\sqrt{1 - 2\sin6^{\circ}\cos6^{\circ}}}{\sin6^{\circ}-\sqrt{1-\sin^{2}6^{\circ}}}$；
(2) 求证：$\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha-\sin\alpha}=\frac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}$。
分析 (1) 根据平方关系化简，注意“1”的妙用；(2) 由右向左证明，或由左向右证明，也可以两边同时进行，证明左、右两边等于同一个式子。

答案： 【例2】
(1)解原式$=\frac{\sqrt{(\sin6^{\circ}-\cos6^{\circ})^{2}}}{\sin6^{\circ}-\cos6^{\circ}}=$
$\frac{\cos6^{\circ}-\sin6^{\circ}}{\cos6^{\circ}-\sin6^{\circ}}=-1$.
(2)证明(方法一)$\because$右边
$=\frac{\tan^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}{(\tan\alpha-\sin\alpha)\tan\alpha\sin\alpha}=$
$\frac{\tan^{2}\alpha-\tan^{2}\alpha\cos^{2}\alpha}{(\tan\alpha-\sin\alpha)\tan\alpha\sin\alpha}=$
$\frac{\tan^{2}\alpha(1-\cos^{2}\alpha)}{(\tan\alpha-\sin\alpha)\tan\alpha\sin\alpha}=$
$\frac{\tan^{2}\alpha\sin^{2}\alpha}{(\tan\alpha-\sin\alpha)\tan\alpha\sin\alpha}=$
$\frac{\tan\alpha\sin\alpha}{\tan\alpha-\sin\alpha}=$左边，
$\therefore$原等式成立.
(方法二)$\because$左边$=\frac{\tan\alpha\sin\alpha(\tan\alpha+\sin\alpha)}{\tan^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha}=$
$\frac{\sin^{2}\alpha(\tan\alpha+\sin\alpha)}{\cos\alpha(\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha}-\sin^{2}\alpha)}=\frac{\sin^{2}\alpha(\tan\alpha+\sin\alpha)}{\sin^{2}\alpha(1-\cos^{2}\alpha)/\cos\alpha}=$
$\frac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\sin^{2}\alpha/\cos\alpha}=\frac{\tan\alpha+\sin\alpha}{\tan\alpha\sin\alpha}=$右边，$\therefore$原等式成立.
(方法三)$\because$左边$=\frac{\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}=$
$\frac{1-\cos^{2}\alpha}{\sin\alpha(1-\cos\alpha)}=\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}$，
右边$=\frac{\sin\alpha(1 + \cos\alpha)}{\sin^{2}\alpha}=\frac{1 + \cos\alpha}{\sin\alpha}=$左边，
$\therefore$原等式成立.

【变式训练2】(1) 已知$\sin\alpha·\tan\alpha\lt0$，化简：$\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}}+\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}}$。
(2) 求证：$\frac{1 + 2\sin x\cos x}{\cos^{2}x - \sin^{2}x}=\frac{1 + \tan x}{1 - \tan x}$。

答案： 【变式训练2】
(1)解$\because\sin\alpha·\tan\alpha＜0$，
$\therefore\cos\alpha＜0$.
原式$=\frac{(1-\sin\alpha)^{2}}{1-\sin^{2}\alpha}|\cos\alpha|+\frac{(1 + \sin\alpha)^{2}}{1-\sin^{2}\alpha}\frac{1 + \sin\alpha}{|\cos\alpha|}=\frac{1-\sin\alpha}{|\cos\alpha|}+\frac{1 + \sin\alpha}{|\cos\alpha|}=\frac{2}{|\cos\alpha|}=\frac{2}{\cos\alpha}$.
(2)证明$\because$右边$=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x}=\frac{\cos x+\sin x}{\cos x-\sin x}=$
$\frac{(\cos x+\sin x)^{2}}{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}=\frac{1 + 2\sin x\cos x}{\cos^{2}x-\sin^{2}x}=$左
边，$\therefore$原等式成立.