《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练 2】为推动绿色发展，促进人与自然和谐共生，某地区加大植树造林力度，测得最近三年造林面积增加值分别为$0.2$万公顷、$0.4$万公顷和$0.76$万公顷，则造林面积增加值$y$万公顷关于年份序号$x$的函数解析式可以是(C)。

A.$y = 0.2x$
B.$y=\frac{1}{10}(x^{2}+2x)$
C.$y=\frac{2^{x}}{10}$
D.$y = 0.2+\log_{16}x$

答案： 【变式训练2】C 解析 对于选项A，当 $x = 1,2$ 时，符合题意，当 $x = 3$ 时，$y = 0.6$，与0.76相差0.16；对于选项B，当 $x = 1$ 时，$y = 0.3$；当 $x = 2$ 时，$y = 0.8$；当 $x = 3$ 时，$y = 1.5$，相差较大，不符合题意；对于选项C，当 $x = 1,2$ 时，符合题意；当 $x = 3$ 时，$y = 0.8$，与0.76相差0.04，与选项A比较，更符合题意；对于选项D，当 $x = 1$ 时，$y = 0.2$；当 $x = 2$ 时，$y = 0.45$；当 $x = 3$ 时，$y \approx 0.6 ＜ 0.7$，相差较大，不符合题意.

审题不清致错
【典例】某工厂连续数年的产值月平均增长率为$p$，则它的年平均增长率为。

答案： 设第一年初的产值为 $a$。
第一年各月的产值依次为：$a, a(1+p), a(1+p)^2, \ldots, a(1+p)^{11}$。
第二年各月的产值依次为：$a(1+p)^{12}, a(1+p)^{13}, \ldots, a(1+p)^{23}$。
第一年的总产值为：
$S_1 = a + a(1+p) + a(1+p)^2 + \ldots + a(1+p)^{11} = \frac{a[(1+p)^{12} - 1]}{p}$，
第二年的总产值为：
$S_2 = a(1+p)^{12} + a(1+p)^{13} + \ldots + a(1+p)^{23} = \frac{a(1+p)^{12}[(1+p)^{12} - 1]}{p}$。
年平均增长率为：
$年平均增长率 = \frac{S_2 - S_1}{S_1} = \frac{\frac{a(1+p)^{12}[(1+p)^{12} - 1]}{p} - \frac{a[(1+p)^{12} - 1]}{p}}{\frac{a[(1+p)^{12} - 1]}{p}} = (1+p)^{12} - 1$。
故答案为：$(1 + p)^{12} - 1$。

【变式训练】若某工厂连续两年的产值月平均增长率都是$a$，则第二年某月的产值与第一年相应月的产值相比，增长了$(1 + a)^{12} - 1$。

答案： 【变式训练】$(1 + a)^{12} - 1$ 解析 不妨设第一年1月的产值为 $b$，则2月的产值为 $b(1 + a)$，3月的产值为 $b(1 + a)^2$，依次类推，第二年1月的产值为 $b(1 + a)^{12}$. 故第二年某月的产值与第一年相应月的产值相比增长了 $\frac{b(1 + a)^{12} - b}{b} = (1 + a)^{12} - 1$.

1. 若镭经过$100$年后剩留质量为原来的$95.76\%$，设质量为$1$的镭经过$x$年后剩留量为$y$，则$y$与$x$的函数关系是(A)。

A.$y = 0.9576^{\frac{x}{100}}$
B.$y = 0.9576^{100x}$
C.$y=\left(\frac{0.9576}{100}\right)^{x}$
D.$y = 1 - 0.0424^{\frac{x}{100}}$

答案： 1.A

2. 若抽气机每次可抽出容器内空气的$60\%$，要使容器内的空气少于原来的$0.1\%$，则至少要抽(参考数据：$\lg2\approx0.301$)(C)。

A.$6$次
B.$7$次
C.$8$次
D.$9$次

答案： 2.C