《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

4. 已知$p$：$-4\lt x - a\lt4$，$q$：$2\lt x\lt3$，且$q$是$p$的充分不必要条件，求$a$的取值范围。

答案： 4.解设q，p对应的集合分别为A，B，
则A={x|2＜x＜3}，B={x|a - 4＜x＜a + 4}.因为q是p的充分不必要条件，则有A⊊B，即$\begin{cases}a - 4≤2,\\a + 4≥3,\end{cases}$所以-1≤a≤6.
经检验，a = - 1或a = 6满足A⊊B，
即a的取值范围为{a|-1≤a≤6}.

【例1】在下列各题中，判断$p$是$q$的什么条件（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”回答）：
(1) 在$\triangle ABC$中，$p$：$\angle A\gt\angle B$，$q$：$BC\gt AC$；
(2) 对于实数$x$，$y$，$p$：$x = 2$，且$y = 6$，$q$：$x + y = 8$；
(3) $p$：$(a - 2)(a - 3)=0$，$q$：$a = 3$；
(4) $p$：$a\lt b$，$q$：$\frac{a}{b}\lt1$。
分析 判断$p\Rightarrow q$与$q\Rightarrow p$是否成立。

答案： 【例1】解
(1)由三角形中大角对大边可知，∠A＞∠B⇔BC＞AC，故p是q的充要条件.
(2)因为x = 2，y = 6⇒x + y = 8，即p⇒q，但q⇏p，所以p是q的充分不必要条件.
(3)由(a - 2)(a - 3)=0，可以推出a = 2或a = 3，不一定有a = 3，即p⇒q；由a = 3，可以得出(a - 2)(a - 3)=0，即q⇒p.故p是q的必要不充分条件.
(4)由于a＜b，当b＜0时，\frac{a}{b}＞1；
当b＞0时，$\frac{a}{b}＜1，$即a＜b，不一定有$\frac{a}{b}＜1.$
当a＞0，b＞0，$\frac{a}{b}＜1$时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，\frac{a}{b}＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件.