《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

2. 小强去超市想买一些牛奶和面包，已知每盒牛奶 $5$ 元，每袋面包 $4$ 元，小强一共带了 $200$ 元，设买牛奶 $x$ 盒，面包 $y$ 袋，则 $x$ 和 $y$ 满足的关系式是(D)。

A.$5x + 4y ＜ 200$
B.$5x + 4y\geqslant 200$
C.$5x + 4y = 200$
D.$5x + 4y\leqslant 200$

答案： 2. D 解析由题意，$x$，$y$满足的不等关系为$5x + 4y\leqslant200$。

3. 不等式 $a^{2}+1\geqslant 2a$ 中等号成立的条件是(B)。

A.$a = \pm 1$
B.$a = 1$
C.$a = -1$
D.$a = 0$

答案： 3. B

4. (多选题)下列不等式恒成立的是(AC)。

A.$a^{2}+3 ＞ 2a$
B.$a^{2}+b^{2} ＞ 2(a - b - 1)$
C.$(a - 3)^{2} ＞ (a - 2)(a - 4)$
D.$a^{2}+b^{2} ＞ ab$

答案： 4. AC 解析$\because a^{2}+3 - 2a=(a - 1)^{2}+2＞0$，$\therefore a^{2}+3＞2a$，即A恒成立；$a^{2}+b^{2}-2(a - b - 1)=(a - 1)^{2}+(b + 1)^{2}\geqslant0$，即B不恒成立；$(a - 3)^{2}-(a - 2)(a - 4)=(a^{2}-6a + 9)-(a^{2}-6a + 8)=1＞0$，即C恒成立；$a^{2}+b^{2}-ab=(a-\frac{b}{2})^{2}+\frac{3}{4}b^{2}\geqslant0$，故D不恒成立.

5. 若 $a\sqrt{a}+b\sqrt{b} ＞ a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$，则 $a$，$b$ 必须满足的条件是(D)。

A.$a ＞ b ＞ 0$
B.$a ＜ b ＜ 0$
C.$a ＞ b$
D.$a\geqslant 0$，$b\geqslant 0$，且 $a\neq b$

答案： 5. D 解析$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-(a\sqrt{b}+b\sqrt{a})=(a - b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$，若$a\sqrt{a}+b\sqrt{b}＞a\sqrt{b}+b\sqrt{a}$，则$a,b$必须满足的条件是$a\geqslant0$，$b\geqslant0$，且$a\neq b$。

6. 用“$＞$”“$＜$”或“$=$”填空：
(1) 已知 $x=(a + 3)(a - 5)$，$y=(a + 2)(a - 4)$，则 $x$＜ $y$；
(2) 已知 $a ＞ b ＞ 0$，则 $\frac{a}{b}$＞ $\frac{2a + b}{a + 2b}$。

答案： 6.
(1)$＜$
(2)$＞$ 解析
(1)$\because x - y=(a + 3)(a - 5)-(a + 2)(a - 4)=-7＜0$，$\therefore x ＜ y$。
(2)$\because\frac{2a + b}{a + 2b}-\frac{a}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{(a + 2b)b}=\frac{(b + a)(b - a)}{(a + 2b)b}＜0$，
$\therefore\frac{a}{b}＞\frac{2a + b}{a + 2b}$。

7. 若 $x\in R$，则 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 与 $\frac{1}{2}$ 的大小关系为$\frac{x}{1 + x^{2}}\leqslant\frac{1}{2}$。

答案： 7. $\frac{x}{1 + x^{2}}\leqslant\frac{1}{2}$ 解析$\because\frac{x}{1 + x^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{2x - 1 - x^{2}}{2(1 + x^{2})}=-\frac{(x - 1)^{2}}{2(1 + x^{2})}\leqslant0$，$\therefore\frac{x}{1 + x^{2}}\leqslant\frac{1}{2}$。

8. 已知一辆汽车原来每天行驶 $x$ km，(1) 如果现在该辆汽车每天行驶的路程比原来多 $19$ km，那么 $8$ 天它的行程就超过 $2200$ km，该问题用不等式可表示为$8(x + 19)＞2200$；(2) 如果现在该辆汽车每天行驶的路程比原来少 $12$ km，那么它原来行驶 $8$ 天的路程现在就得花 $9$ 天多的时间行驶，该问题用不等式可表示为$9＜\frac{8x}{x - 12}＜10$。

答案： 8.
(1)$8(x + 19)＞2200$
(2)$9＜\frac{8x}{x - 12}＜10$

9. 用一段长为 $30$ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长为 $18$ m，靠墙的一边长为 $x$ m。
(1) 若要求菜园的面积不小于 $110$ $m^{2}$，试用不等式组表示其中的不等关系；
(2) 若矩形的长、宽都不能超过 $11$ m，试求 $x$ 满足的不等关系。

答案： 9. 解
(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为$x$m，而墙长为18m，所以$0 ＜ x\leqslant18$，这时菜园的另一边长为$\frac{30 - x}{2}=(15-\frac{x}{2})$(m)。
则菜园的面积$S = x·(15-\frac{x}{2})$，依题意有$S\geqslant110$，即$x(15-\frac{x}{2})\geqslant110$，故该题中的不等关系可用不等式组表示为$\begin{cases}0 ＜ x\leqslant18,\\x(15-\frac{x}{2})\geqslant110.\end{cases}$
(2)因为矩形的另一边长$15-\frac{x}{2}\leqslant11$，所以$x\geqslant8$，
又$0 ＜ x\leqslant18$，且$x\leqslant11$，所以$8\leqslant x\leqslant11$。