《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练】若一个集合中的三个元素a，b，c是$\triangle ABC$的三边长，则此三角形一定不是(D)。

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形

答案： 【变式训练】D 解析 根据集合中元素的互异性，知$\triangle ABC$的三边长两两不等，故选D.

1. 下列说法正确的是(D)。

A.$\sqrt{2}\in N$
B.$-1\in N$
C.$\frac{1}{2}\in N$
D.$9\in N$

答案： 1.D 解析 因为集合$\mathrm{N}$表示非负整数集，所以$\sqrt{2},-1,\frac{1}{2}$不是集合$\mathrm{N}$中的元素.故选D.

2. 已知集合A中只含有1，$a^{2}$两个元素，则实数a不能取(C)。

A.1
B.$-1$
C.$-1$和1
D.1或$-1$

答案： 2.C 解析 由集合中元素的互异性，知$a^{2} \neq 1，$即$a \neq \pm 1.$

3. 下列对象能组成集合的是(D)。

A.高一年级中数学成绩较好的学生
B.与$30^{\circ}$角很接近的角
C.很大的自然数
D.平面内到$\triangle ABC$三个顶点距离相等的点

答案： 3.D 解析 对于A，高一年级中数学成绩较好的学生，因为较好的标准不确定，所以不满足集合中元素的确定性，故A错误；对于B，因为与$30^{\circ}$角很接近的角标准不确定，所以不满足集合中元素的确定性，故B错误；对于C，很大的自然数，因为很大的自然数标准不确定，所以不满足集合中元素的确定性，故C错误；对于D，平面内到$\triangle ABC$三个顶点距离相等的点，是$\triangle ABC$外接圆的圆心，满足集合的定义，D正确，故选D.

4. (多选题)给出下列说法，其中正确的是(CD)。

A.集合N中最小的数是1
B.若$-a\notin N$，则$a\in N$
C.若$a\in N$，$b\in N$，且$a\neq b$，则$a + b$的最小值是1
D.若$a\notin R$，则$a\notin Q$

答案： 4.CD 解析 集合$\mathrm{N}$是自然数集，其中最小的数是0，故A错误；$-\sqrt{2} \notin \mathrm{N}，$且$\sqrt{2} \notin \mathrm{N}，$故B错误；因为$a \in \mathrm{N}，$$b \in \mathrm{N}，$且$a \neq b，$所以a+b的最小值是1，故C正确；若一个数不是实数，则这个数一定不是有理数，故D正确.

5. 已知集合A中含有1和$a^{2}+a + 1$两个元素，且$3\in A$，则$a^{3}$的值为(D)。

A.0
B.1
C.$-8$
D.1或$-8$

答案： 5.D 解析$ \because 3 \in A，$$\therefore a^{2}+a+1=3，$即$a^{2}+a-2=0，$即(a+2)(a-1)=0，解得a=-2 或 a=1.当a=1时，$a^{3}=1；$当a=-2时，$a^{3}=-8.$即$a^{3}=1$或$a^{3}=-8.$

6. 由英文字母“b”“e”“e”组成的集合含有2个元素。

答案： 6.2 解析 因为集合中的元素具有互异性，所以由英文字母“b”“e”“e”组成的集合只含有“b”“e”两个元素.

7. 以方程$x^{2}-5x + 6 = 0$和$x^{2}-6x + 9 = 0$的解为元素的集合中，所有元素之和等于5。

答案： 7.5 解析 因为方程$x^{2}-5x+6=0$的解为x=2或x=3，方程$x^{2}-6x+9=0$的解为x=3，且集合中的元素具有互异性，所以集合中含有两个元素2和3，元素之和为2+3=5.

8. 已知集合A含有两个元素1，2，集合B表示方程$x^{2}+ax + b = 0$的解的集合，且集合A与集合B相等，则$a + b=$-1。

答案： 8.-1 解析$ \because $集合A与集合B相等，且$1 \in A，$$2 \in A，$$\therefore 1 \in B，$$2 \in B，$$\therefore x_{1}=1，$$x_{2}=2$是方程$x^{2}+ax+b=0$的两个实数根，
$\therefore \begin{cases}1+2=-a, \\1 × 2=b,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-3, \\b=2.\end{cases} \therefore a+b=-1.$

9. 设$x\in R$，集合A中含有三个元素3，x，$x^{2}-2x$。
(1)求元素x应满足的条件；
(2)若$-2\in A$，求实数x。

答案： 9.解
(1)由集合中元素的互异性，得$x \neq 3，$且$x^{2}-2x \neq x，$$x^{2}-2x \neq 3，$解得$x \neq -1，$且$x \neq 0，$且$x \neq 3.$故元素x满足的条件为$x \neq -1，$且$x \neq 0，$且$x \neq 3.$
(2)若$-2 \in A，$则x=-2 或$ x^{2}-2x=-2.$
因为方程$x^{2}-2x+2=0$无解，所以x=-2.

10. 设$a$，$b\in R$，集合A中含有三个元素1，$a + b$，a，集合B中含有三个元素0，$\frac{b}{a}$，b，且$A = B$，求a，b的值。

答案： 10.解 由于集合B中的元素是$0,\frac{b}{a},b，$故$a \neq 0,b \neq 0.$因为A=B，知a+b=0，即b=-a，所以$\frac{b}{a}=-1.$故a=-1,b=1.