《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

10. 比较下列每组中两个值的大小：
(1)$ (\frac{5}{7})^{-1.8} $，$ (\frac{5}{7})^{-2.5} $；
(2)$ (\frac{2}{3})^{-0.5} $，$ (\frac{3}{4})^{-0.5} $；
(3)$ 0.2^{0.3} $，$ 0.3^{0.2} $。

答案：
10.解
(1)因为$0 ＜ \frac{5}{7} ＜ 1$，所以函数$y = (\frac{5}{7})^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，又因为$- 1.8 ＞ - 2.5$，所以$(\frac{5}{7})^{- 1.8} ＜ (\frac{5}{7})^{- 2.5}$.
(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数$y = (\frac{2}{3})^{x}$与$y = (\frac{3}{4})^{x}$的图象，如图所示.当$x = - 0.5$时，观察图象可得$(\frac{2}{3})^{- 0.5} ＞ (\frac{3}{4})^{- 0.5}$.
(3)因为$0 ＜ 0.2 ＜ 0.3 ＜ 1$，所以指数函数$y = 0.2^{x}$与$y = 0.3^{x}$在定义域$\mathbf{R}$上均是减函数，且在区间$(0, + \infty)$内，函数$y = 0.2^{x}$的图象在函数$y = 0.3^{x}$的图象的下方，所以$0.2^{0.2} ＜ 0.3^{0.2}$.又根据指数函数$y = 0.2^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，可得$0.2^{0.3} ＜ 0.2^{0.2}$，所以$0.2^{0.3} ＜ 0.3^{0.2}$.

11. 已知指数函数$ f(x) $的图象经过点$ (2, \frac{1}{9}) $。
(1)求函数$ f(x) $的解析式；
(2)若$ f(|x|) ＞ f(1) $，求x的取值范围；
(3)证明$ f(a) · f(b) = f(a + b) $。

答案： 11.
(1)解设指数函数$f(x) = m^{x}(m ＞ 0$，且$m \neq 1)$，将点$(2,\frac{1}{9})$的坐标代入，得$m^{2} = \frac{1}{9}$，解得$m = \frac{1}{3}$(舍去$m = - \frac{1}{3}$).所以$f(x) = (\frac{1}{3})^{x}$.
(2)解由
(1)知指数函数$f(x) = (\frac{1}{3})^{x}$在$\mathbf{R}$上是减函数，又$f(|x|) ＞ f(1)$，所以$|x| ＜ 1$，解得$- 1 ＜ x ＜ 1$.所以$x$的取值范围为$( - 1,1)$.
(3)证明因为$f(a) · f(b) = (\frac{1}{3})^{a} · (\frac{1}{3})^{b} = (\frac{1}{3})^{a + b}$，且$f(a + b) = (\frac{1}{3})^{a + b}$，所以$f(a) · f(b) = f(a + b)$.

12. 已知函数$ f(x) = (k + 3) · a^{x} + 3 - b (a ＞ 0 $，且$ a \neq 1) $的图象过点$ (0, 1) $，$ (1, a) $。
(1)求k，b的值；
(2)求解不等式$ f(2x - 7) ＞ f(4x - 3) $。

答案： 12.解
(1)由已知得$\begin{cases} k + 3 + 3 - b = 1 \\(k + 3)a + 3 - b = a \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = - 2 \\b = 3 \end{cases}$.
(2)由
(1)得$f(x) = a^{x}(a ＞ 0$，且$a \neq 1)$.①当$a ＞ 1$时，$f(x) = a^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递增，则由$f(2x - 7) ＞ f(4x - 3)$，得$2x - 7 ＞ 4x - 3$，解得$x ＜ - 2$.②当$0 ＜ a ＜ 1$时，$f(x) = a^{x}$在$\mathbf{R}$上单调递减，则由$f(2x - 7) ＞ f(4x - 3)$，得$2x - 7 ＜ 4x - 3$，解得$x ＞ - 2$.综上①②可知，当$a ＞ 1$时，原不等式的解集为$( - \infty, - 2)$；当$0 ＜ a ＜ 1$时，原不等式的解集为$( - 2, + \infty)$.