《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练】
已知关于x的不等式$kx^{2}-kx - 1＜0$恒成立，求实数k的取值范围。

答案： 【变式训练】解当k=0时,-1＜0恒成立；当k≠0时,则\begin{cases} k ＞$ 0, \\ Δ = k^2 + 4k ＜ 0, \end{cases}$解得-4＜k＜0,综上,k的取值范围为$\begin{cases} k \mid - 4 ＜ k \leq 0 \end{cases}.$

1. 已知关于x的不等式$ax^{2}+bx+c＜0(a\neq0)$的解集为R，则(B)。

A.$a＜0,\Delta＞0$
B.$a＜0,\Delta＜0$
C.$a＞0,\Delta＜0$
D.$a＞0,\Delta＞0$

答案： 1.B 解析由题意知,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象均在x轴下方,故a＜0,Δ＜0.

2. 若关于x的不等式$x^{2}+ax+4＜0$的解集为空集，则实数a的取值范围是(A)。

A.$\{a|-4\leq a\leq4\}$
B.$\{a|-4＜a＜4\}$
C.$\{a|a\leq-4$，或$a\geq4\}$
D.$\{a|a＜-4$，或$a＞4\}$

答案： 2.A 解析由题意,需满足Δ=a²-16≤0,即-4≤a≤4.

3. 已知不等式$ax^{2}-x - c＞0$的解集为$\{x|-2＜x＜1\}$，则有(C)。

A.$a＞0$，且函数$y = ax^{2}-x - c$的零点为$-2$，$1$
B.$a＞0$，且函数$y = ax^{2}-x - c$的零点为$2$，$-1$
C.$a＜0$，且函数$y = ax^{2}-x - c$的零点为$-2$，$1$
D.$a＜0$，且函数$y = ax^{2}-x - c$的零点为$2$，$-1$

答案： 3.C 解析令y=ax²-x-c.由ax²-x-c＞0的解集为$\{x\mid-2＜x＜1\},$结合函数y=ax²-x-c的图象知a＜0,且-2,1是函数y=ax²-x-c的两个零点.

4. 已知不等式$2x^{2}+mx+n＞0$的解集是$\{x|x＞3$，或$x＜-2\}$，则二次函数$y = 2x^{2}+mx+n$的解析式是(D)。

A.$y = 2x^{2}+2x+12$
B.$y = 2x^{2}-2x+12$
C.$y = 2x^{2}+2x - 12$
D.$y = 2x^{2}-2x - 12$

答案： 4.D 解析由题意知-2和3是对应方程的两个根,由根与系数的关系,得$-2+3=- \frac {m}{2},-2×3=\frac {n}{2},$解得m=-2,n=-12.因此二次函数的解析式是y=2x²-2x-12.

5. 若不等式$(x + 1)(x - 3)＜m$的解集为$\{x|0＜x＜n\}$，则实数n的值为2。

答案： 5.2 解析由题意可知,0和n是关于x的方程(x+1)(x-3)=m的两个实数根,即方程x²-2x-3-m=0的两根,由根与系数的关系可得0+n=2,解得n=2.

6. 若关于x的不等式组$\begin{cases}x - 1\geq a^{2},\\ x - 4＜2a\end{cases}$有解，则实数a的取值范围是 ______ 。

答案： $6.\{a\mid-1＜a＜3\} $解析不等式组可化为$\begin{cases} x \geq a^2 + 1, \\ x ＜ 2a + 4, \end{cases}$由题意可知a²+1＜2a+4,即a²-2a-3＜0,解得-1＜a＜3.

7. 若式子$\sqrt{kx^{2}-6kx+(k + 8)}$(k为常数)在实数集R上恒有意义，则k的取值范围是\{k|0≤k≤1\}。

答案： $7.\{k\mid0≤k≤1\} $解析式子√kx²-6kx+(k+8)在实数集R上恒有意义,即kx²-6kx+(k+8)≥0对一切x∈R恒成立.当k=0时,显然8＞0恒成立；当k≠0时,满足$\begin{cases} k ＞ 0, \\ Δ ≤ 0, \end{cases}$即$\begin{cases} k ＞ 0, \\ 36k^2 - 4k(k + 8) ≤ 0, \end{cases}$解得0＜k≤1.故k的取值范围是$\{k\mid0≤k≤1\}.$

8. 已知不等式$x^{2}-2x - 3＜0$的解集为A，不等式$x^{2}+4x - 5＜0$的解集为B。
(1)求$A\cup B$；
(2)若关于x的不等式$x^{2}+ax+b＜0$的解集是$A\cup B$，求关于x的不等式$ax^{2}+x+b＜0$的解集。

答案： 8.解
(1)解不等式x²-2x-3＜0,得$A=\{x\mid-1＜x＜3\}.$解不等式x²+4x-5＜0,得$B=\{x\mid-5＜x＜1\}.$故$A∪B=\{x\mid-5＜x＜3\}. (2)$由x²+ax+b＜0的解集为$\{x\mid-5＜x＜3\},$得$\begin{cases} 25 - 5a + b = 0, \\ 9 + 3a + b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases} a = 2, \\ b = - 15. \end{cases}$即2x²+x-15＜0,故不等式的解集为$\begin{cases} x \mid - 3 ＜ x ＜ \frac{5}{2} \end{cases}.$