《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练1】(多选题)下列各组对象能组成一个集合的是(BC)。

A.在数轴上与原点非常近的点
B.在平面直角坐标系中，所有横坐标与纵坐标相等的点
C.所有不小于3的正整数
D.高一年级视力比较好的同学

答案： 【变式训练1】BC 解析 对于A选项中的“非常近”
标准不明确，故不能组成集合；同理D选项中的“视力比较好”标准也不明确，而B,C选项中的对象都是明确的，故A,D选项中的对象均不能组成集合，B,C选项中的对象能组成集合.

【例2】给出下列四个关系：$\sqrt{2}\in Q$，$0.7\notin N$，$0\in N^{*}$，$\sqrt{9}\in Z$，其中正确的有(C)。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： 【例2】C 解析 因为$\sqrt{2}$是无理数，所以$\sqrt{2} \in \mathrm{Q}$错误；因为0.7不是自然数，所以$0.7 \notin \mathrm{N}$正确；0不是正整数，故$0 \in \mathrm{N}^{*}$错误；$\sqrt{9}=3，$而3是整数，故$\sqrt{9} \in \mathrm{Z}$正确.故选C.

【变式训练2】用符号“$\in$”或“$\notin$”填空：
$\sqrt{4}$\in$N^{*}$，3.7\notinZ，3.14\inQ，$\frac{\pi}{2}$\inR。

答案： 【变式训练$2】\in \notin \in \in $解析 因为$\sqrt{4}=2，$所以$\sqrt{4} \in \mathrm{N}^{*};$因为3.7不是整数，所以$3.7 \notin \mathrm{Z};$因为3.14是有理数，所以$3.14 \in \mathrm{Q};$因为$\pi$是实数，所以$\frac{\pi}{2} \in \mathrm{R}.$

【例3】已知集合A中只含有$a - 3$和$2a - 1$两个元素，若$-3\in A$，试求实数a的值。
延伸探究
1. 若将本例中的条件“$-3\in A$”换成“$a\in A$”，求实数a的值。
2. 若将本例中的条件“$-3\in A$”去掉，求实数a的取值范围。

答案： 解 由题意，知-3=a-3 或 -3=2a-1.
若-3=a-3，则a=0.此时集合A中只含有-3，-1两个元素，符合题意；若-3=2a-1，则a=-1.此时集合A中只含有-4，-3两个元素，符合题意.
综上所述，a=0或a=-1.
【延伸探究】
1.解 由题意，知a=a-3 或 a=2a-1，解得a=1，此时集合A中只有-2,1两个元素，符合题意.故所求a的值为1.
2.解 由集合中元素的互异性，得$a-3 \neq 2a-1，$即$a \neq -2.$故所求a的取值范围为$a \neq -2.$

因忽视集合中元素的互异性致错
【典例】关于x的方程$x^{2}-(a + 1)x + a = 0$的解集中有几个元素？

答案： 错解
因为$x^{2}-(a + 1)x + a=(x - a)(x - 1)=0$，所以方程的解为1，a，则方程的解集中有1，a两个元素。
以上解答过程中都有哪些错误？出错的原因是什么？你如何改正？你如何防范？
提示
以上错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性。事实上，当$a = 1$时，不满足集合中元素的互异性。
正解
因为$x^{2}-(a + 1)x + a=(x - a)(x - 1)=0$，所以方程的解为1，a。若$a = 1$，则方程的解集中只有一个元素1；若$a\neq1$，则方程的解集中有1，a两个元素。
防范措施
1. 先由解方程得到x的可能值，再根据元素的互异性进行检验。
2. 在解方程求得x的值后，不要忘记验证集合中元素的互异性。