《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

2. 函数零点存在定理
如果函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)＜0，那么，函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (a,b) $ 内至少有一个零点，即存在 $ c\in(a,b) $，使得f(c)=0，$ x = c $ 也就是方程 $ f(x)=0 $ 的解。

答案： 连续不断 $f(a)f(b)＜0$ 至少有一个零点 $f(c)=0$

3. 若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a,b] $ 上的图象连续不断，且 $ f(a)\lt0 $，$ f(b)\lt0 $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $ (a,b) $ 内(D)。
A. 必有唯一零点
B. 一定没有零点
C. 必有无数个零点
D. 可能有两个零点

答案： D

1. 函数 $ f(x)=\frac{x - 3}{\sqrt{x}} $ 的零点为(C)。

A.$ (3,0) $
B.$ (0,0) $
C.$ 3 $
D.$ 0 $ 和 $ 3 $

答案： C

2. 函数 $ f(x)=x^{3}-(\frac{1}{2})^{x} $ 的零点有(B)。

A.$ 0 $ 个
B.$ 1 $ 个
C.$ 2 $ 个
D.无数个

答案： B

3. 已知函数 $ f(x)=\frac{6}{x}-\log_{2}x $，则在下列区间中，$ f(x) $ 零点所在的区间是(C)。

A.$ (0,1) $
B.$ (1,2) $
C.$ (2,4) $
D.$ (4,+\infty) $

答案： C

4. 若函数 $ f(x)=mx - 1 $ 在区间 $ (0,1) $ 内有零点，则实数 $ m $ 的取值范围是(1,+\infty)。

答案： $(1,+\infty)$

5. 已知函数 $ f(x)=x^{2}-x - 2a $。
(1) 若 $ a = 1 $，求函数 $ f(x) $ 的零点；
(2) 若 $ f(x) $ 有零点，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案：
(1)解：当$a = 1$时，$f(x)=x^{2}-x - 2$.令$f(x)=x^{2}-x - 2=0$，得$x=-1$或$x=2$.
故函数$f(x)$的零点为$-1$和2.
(2)要使$f(x)$有零点，则$\Delta=1 + 8a\geqslant0$，解得$a\geqslant-\frac{1}{8}$，所以实数$a$的取值范围是$\left[-\frac{1}{8},+\infty\right)$.

【例 1】求下列函数的零点：
(1) $ y = x-\frac{4}{x} $；
(2) $ y=\frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x - 1}} $；
(3) $ y=\begin{cases}2x + 4,x\leq0,\\\log_{\frac{1}{2}}x + 3,x\gt0.\end{cases} $

答案： 解：
(1)函数的定义域为$\{x\mid x\neq0\}$.
令$x-\frac{4}{x}=0$，解得$x=\pm2$，
所以函数的零点为2和$-2$.
(2)函数的定义域为$\{x\mid x＞1\}$.
令$\frac{x^{2}-2x}{\sqrt{x - 1}}=0$，解得$x = 0$或$x = 2$，但$x = 0$不符合题意，舍去.故函数的零点为2.
(3)函数的定义域为$\mathbf{R}$.
当$x\leqslant0$时，令$2x + 4=0$，解得$x=-2$；
当$x＞0$时，令$\log_{\frac{1}{2}}x + 3=0$，解得$x=8$.
故函数的零点为$-2$和8.

【变式训练 1】若函数 $ f(x)=x^{2}+ax + b $ 的两个零点是 $ -1 $，$ 4 $，则函数 $ g(x)=bx - a $ 的零点是$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$解析因为函数$f(x)$的零点是$-1$，$4$，所以可得$a=-3$，$b=-4$.所以$g(x)=-4x + 3$.由$g(x)=-4x + 3=0$可得$g(x)$的零点是$\frac{3}{4}$.