《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例 1】求下列函数的定义域：
(1) $ y = \tan(x + \frac{\pi}{4}) $；
(2) $ y = \sqrt{\sqrt{3} - \tan x} $。
延伸探究
将本例（2）中函数改为“$ y = \frac{\sqrt{\tan x - 1}}{\tan(x + \frac{\pi}{6})} $”，其定义域又是什么？

答案： [例1]解
(1)由$x+\frac{\pi}{4}\neq k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，得$x\neq k\pi+\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}$，所以函数$y=\tan(x+\frac{\pi}{4})$的定义域为$\left\{x\mid x\neq k\pi+\frac{\pi}{4},k\in\mathbf{Z}\right\}$.
(2)由$\sqrt{3}-\tanx\geqslant0$，得$\tanx\leqslant\sqrt{3}$.结合$y=\tanx$的图象可知，在区间$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$内，由$\tanx\leqslant\sqrt{3}$，可知$-\frac{\pi}{2}＜x\leqslant\frac{\pi}{3}$，所以函数$y=\sqrt{3}-\tanx$的定义域为$\left\{x\mid k\pi-\frac{\pi}{2}＜x\leqslant k\pi+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}\right\}$.
[延伸探究]
解根据题意$\begin{cases}\tanx\geqslant1,\\\tan(x+\frac{\pi}{6})\neq0,\end{cases}(k\in\mathbf{Z})$，得$\begin{cases}x+\frac{\pi}{6}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,\\x\neq-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi\leqslant x＜\frac{\pi}{2}+k\pi,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x\neq\frac{\pi}{3}+k\pi,\\x\neq-\frac{\pi}{6}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi\leqslant x＜\frac{\pi}{2}+k\pi,\end{cases}(k\in\mathbf{Z})$，所以函数的定义域为$[\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{3}+k\pi)\cup(\frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)(k\in\mathbf{Z})$.

【变式训练 1】函数 $ y = 3\tan(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{4}) $ 的定义域为$\{x\mid x\neq-\frac{4\pi}{3}-4k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$。

答案： [变式训练1]$\{x\mid x\neq-\frac{4\pi}{3}-4k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$解析由$\frac{\pi}{6}-\frac{x}{4}\neq\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，得$x\neq-\frac{4\pi}{3}-4k\pi,k\in\mathbf{Z}$，即函数的定义域为$\{x\mid x\neq-\frac{4\pi}{3}-4k\pi,k\in\mathbf{Z}\}$.

【例 2】求函数 $ y = \tan(-\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{4}) $ 的单调区间及最小正周期。
分析 先化简已知解析式，再根据正切函数的单调性建立不等式求解。

答案： [例2]解$y=\tan(-\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4})=-\tan(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4})$，令$k\pi-\frac{\pi}{2}＜\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{4}＜k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，得$2k\pi-\frac{\pi}{2}＜x＜2k\pi+\frac{3\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，所以函数$y=\tan(-\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{4})$的单调递减区间是$(2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2})(k\in\mathbf{Z})$，没有单调递增区间，最小正周期$T=\frac{\pi}{-\frac{1}{2}}=2\pi$.

【变式训练 2】(1) 函数 $ f(x) = \tan(\omega x + \frac{\pi}{6}) $($ \omega ＞ 0 $)的最小正周期为 $ 2\pi $，则 $ f(\frac{\pi}{6}) = $1。
(2) 求函数 $ y = 3\tan(\frac{\pi}{4} - 2x) $ 的单调区间。

答案： [变式训练2]
(1)1解析由已知$\frac{\pi}{\omega}=2\pi$，所以$\omega=\frac{1}{2}$，所以$f(x)=\tan(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{6})$，所以$f(\frac{\pi}{6})=\tan(\frac{1}{2}×\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6})=\tan\frac{\pi}{4}=1$.
(2)解$y=3\tan(\frac{\pi}{4}-2x)=-3\tan(2x-\frac{\pi}{4})$，令$-\frac{\pi}{2}+k\pi＜2x-\frac{\pi}{4}＜\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbf{Z}$，得$-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}＜x＜\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbf{Z})$，所以$y=3\tan(\frac{\pi}{4}-2x)$的单调递减区间为$(-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2})(k\in\mathbf{Z})$，没有单调递增区间.