《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练3】
某文具店购进一批新型台灯，每盏最低售价为15元，若按最低售价销售，则每天能卖出30盏；售价每提高1元，日销售量将减少2盏。为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，这批台灯的销售单价定在什么范围合适？

答案： 【变式训练3】解设这批台灯的销售单价为x元，由题意可知,x[30-2(x-15)]＞400,则-2x²+60x-400＞0,即x²-30x+200＜0,得(x-10)(x-20)＜0,即10＜x＜20.因为每盏最低售价为15元,所以15≤x＜20.即这批台灯的销售单价x的范围是15≤x＜20(元).

【典例】已知函数$y=(a - 2)x^{2}+2(a - 2)x - 2$的图象在x轴下方，求实数a的取值范围。

答案： 要使函数$y=(a - 2)x^{2}+2(a - 2)x - 2$的图象在$x$轴下方，即$y ＜ 0$恒成立。
当$a = 2$时，$y=-2$，满足$y ＜ 0$；
当$a\neq2$时，函数为二次函数，需满足$\begin{cases}a - 2 ＜ 0\\\Delta = [2(a - 2)]^{2}-4(a - 2)(-2) ＜ 0\end{cases}$，
即$\begin{cases}a ＜ 2\\4(a - 2)^{2}+8(a - 2) ＜ 0\end{cases}$，
化简$\Delta$：$4(a - 2)[(a - 2) + 2] = 4a(a - 2) ＜ 0$，
解得$\begin{cases}a ＜ 2\\0 ＜ a ＜ 2\end{cases}$，即$0 ＜ a ＜ 2$。
综上，实数$a$的取值范围是$\{a|0 ＜ a\leq2\}$。