《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例3】已知$a$，$b$，$c＞0$，求证：$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geqslant a + b + c$。
延伸探究
1. 本例条件不变，求证：$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geqslant a + b + c$。
2. 本例添加条件“$a + b + c = 1$”，其他条件不变，求证：$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1)\geqslant 8$。

答案： 证明 $\because a,b,c,\frac{a^{2}}{b},\frac{b^{2}}{c},\frac{c^{2}}{a}$均大于0,
$\therefore \frac{a^{2}}{b}+b \geq 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b} · b}=2a$,当且仅当$\frac{a^{2}}{b}=b$时，等号成立;$\frac{b^{2}}{c}+c \geq 2\sqrt{\frac{b^{2}}{c} · c}=2b$,当且仅当$\frac{b^{2}}{c}=c$时，等号成立;$\frac{c^{2}}{a}+a \geq 2\sqrt{\frac{c^{2}}{a} · a}=2c$,当且仅当$\frac{c^{2}}{a}=a$时，等号成立.相加得$\frac{a^{2}}{b}+b+\frac{b^{2}}{c}+c+\frac{c^{2}}{a}+a \geq 2a+2b+2c$,当且仅当$a=b=c$时，取等号.$\therefore \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} \geq a+b+c$.
【延伸探究】
1.证明 $\because a,b,c$均大于0,
$\therefore \frac{bc}{a},\frac{ca}{b},\frac{ab}{c}$也都大于0.
$\therefore \frac{bc}{a}+\frac{ca}{b} \geq 2c,\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c} \geq 2a,\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c} \geq 2b$,三式相加，得$2(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}) \geq 2(a+b+c)$,即$\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c} \geq a+b+c$,当且仅当$a=b=c$时，取等号.
2.证明 $\because a+b+c=1,a＞0,b＞0,c＞0$,
$\therefore \frac{1}{a}-1=\frac{a+b+c}{a}-1=\frac{b+c}{a}＞\frac{2\sqrt{bc}}{a}＞0$,
$\frac{1}{b}-1=\frac{a+b+c}{b}-1=\frac{a+c}{b}＞\frac{2\sqrt{ac}}{b}＞0$,
$\frac{1}{c}-1=\frac{a+b+c}{c}-1=\frac{a+b}{c}＞\frac{2\sqrt{ab}}{c}＞0$,
将以上三式相乘，得$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1) \geq \frac{8\sqrt{ab} · \sqrt{bc} · \sqrt{ac}}{abc}=8$,当且仅当$a=b=c$时，取等号，即$(\frac{1}{a}-1)(\frac{1}{b}-1)(\frac{1}{c}-1) \geq 8$.