《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练】已知集合$A = \{x|ax^2 - 2x + 2 = 0\}$，集合$B = \{y|y^2 - 3y + 2 = 0\}$，如果$A \subseteq B$，求实数$a$的取值集合。

答案： 【变式训练】解由题意，得B={1,2}.由A⊆B,知若a=0,则A={x|-2x+2=0}={1}⊆B.若a≠0,当Δ=4-8a＜0,即a＞$\frac {1}{2}$时，A=∅⊆B;当Δ=4-8a=0,即$a=\frac {1}{2}$时，A={2}⊆B;当Δ=4-8a＞0,即a＜\frac {1}{2},且a≠0时，必有A={1,2},则1,2均为关于x的方程ax²-2x+2=0的实根，即a-2+2=0,4a-4+2=0,这是不可能的.综上，实数a的取值集合为${a|a=0,或a≥\frac {1}{2}}.$

1. (多选题)下列关系错误的是(AB)。

A.$1 \subseteq \{1,2,3\}$
B.$\{1\} \in \{1,2,3\}$
C.$\{1,2,3\} \subseteq \{1,2,3\}$
D.$\varnothing \subseteq \{1\}$

答案： 1.AB 解析对于选项A，应该为1∈{1,2,3};对于选项B，应该为{1}⊆{1,2,3}.选项C,D正确.故选AB.

2. 已知集合$A = \{x|x^2 - 1 = 0\}$，则下列式子表示正确的有(B)。
①$\{1\} \in A$；②$-1 \subseteq A$；③$\varnothing \subseteq A$；④$\{1,-1\} \subseteq A$。

A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个

答案： 2.B 解析由于A={x|x²-1=0}={-1,1},则{1}⊆A，-1∈A，故①②不正确；因为∅⊆A，{1,-1}⊆A，符合子集的定义，所以③④正确.故选B.

3. 已知集合$A \subseteq \{0,1,2\}$，且集合$A$中至少含有一个偶数，则这样的集合$A$的个数为(A)。

A.$6$
B.$5$
C.$4$
D.$3$

答案： 3.A 解析因为集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，所以满足条件的集合A可以为：{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2},共6个，故选A.

4. 设集合$M = \{x \in \mathbf{Z}|-1 ＜ x ＜ 3\}$，则集合$M$的真子集个数为(B)。

A.$8$
B.$7$
C.$4$
D.$3$

答案： 4.B 解析因为集合M={x∈Z|-1＜x＜3}={0,1,2}，所以集合M的真子集个数为2³-1=7.故选B.

5. 用符号“$\in$”或“$\subseteq$”填空：若$A = \{2,4,6\}$，则$4$_∈$A$，$\{2,6\}$_⊆$A$。

答案： 5.∈ ⊆ 解析因为集合A中含有元素4，所以4∈A，因为2∈A,6∈A，所以{2,6}⊆A.

6. 已知集合$M = \{-1,0,1\}$，$N = \{x|x = ab$，$a,b \in M$，且$a \neq b\}$，则能表示集合$M$与集合$N$的关系的 Venn 图是___。②

答案： 6.② 解析
∵M={-1,0,1},
∴N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b}={0,-1},
∴N⊊M,Venn图是②.

7. 已知集合$A = \{-1,3,2m - 1\}$，集合$B = \{3,m^2\}$，若$B \subseteq A$，则实数$m =$1_。

答案： 7.1 解析集合A,B中均含有元素3，由B⊆A，得集合B中另一元素m²一定与集合A中元素-1,2m-1中的一个相等，又m²≥0，故m²=2m-1，得m=1.

8. 判断下列集合间的关系：
(1) $A = \{x|x - 3 ＞ 2\}$，$B = \{x|2x - 4 \geq 0\}$；
(2) $A = \{x \in \mathbf{Z}|-1 \leq x ＜ 3\}$，$B = \{x|x = |y|$，$y \in A\}$。

答案： 8.解
(1)A={x|x-3＞2}={x|x＞5},B={x|2x-4≥0}={x|x≥2}，可得A⊊B.
(2)因为A={x∈Z|-1≤x＜3}={-1,0,1,2},B={x|x=|y|,y∈A}={0,1,2},所以B⊊A.

9. 已知集合$A = \{x|1 \leq x \leq 2\}$，$B = \{x|1 \leq x \leq a$，$a \geq 1\}$。
(1) 若$A \subsetneqq B$，求$a$的取值范围；
(2) 若$B \subseteq A$，求$a$的取值范围。

答案：
9.解
(1)若A⊊B,把集合A,B在数轴上表示出来，则由图可知a＞2.

(2)若B⊆A,把集合A,B在数轴上表示出来，则由图可知1≤a≤2.