《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练 1】某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

如果体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么现有这个地区某中学一个男生身高 175 cm，体重 78 kg，他的体重是否正常？

答案：
分析数据该地区未成年男性的体重与身高之间存在函数关系，但没有现成的函数模型，因此可以根据给出的数据画出散点图，利用图象直观地分析这组数据的变化规律，从而帮助我们选择函数模型.
以身高$x$为横坐标，体重$y$为纵坐标，画出散点图如图所示.

根据散点图中点的分布情况，可考虑用$y = a · b^x$作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
建立模型设函数的解析式为$y = a · b^x (a ＞ 0, b ＞ 0, b \neq 1)$.
不妨取其中的两组数据$(70, 7.90)$，$(160, 47.25)$代入$y = a · b^x$，得$\begin{cases} 7.90 = a · b^{70}, \\ 47.25 = a · b^{160}, \end{cases}$
用计算器可算得$\begin{cases} a \approx 2, \\ b \approx 1.02. \end{cases}$
故函数的解析式为$y = 2 × 1.02^x$.
检验模型作出上述函数的图象(图略)之后，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
求解问题将$x = 175$代入$y = 2 × 1.02^x$得$y = 2 × 1.02^{175}$，由计算器可算得$y \approx 63.98$，
因为$78 ÷ 63.98 \approx 1.22 ＞ 1.2$，
所以这个男性体型偏胖.