《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例 1】某医药研究所开发了一种新药，假设成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量$y$（单位：微克）与时间$t$（单位：小时）之间近似满足曲线如图所示。
(1) 写出服药后$y$与$t$之间的函数解析式$y = f(t)$；
(2) 据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于$0.25$微克时，治疗有效。求服药一次后治疗有效的时间。

延伸探究
若将本例中(2)改为：据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于$0.25$微克时，治疗有效。如果第一次服药在上午$7:00$，那么第二次服药应该在什么时间？

答案： 【例1】解
(1)当 $0 \leq t ＜ 1$ 时，$y = 4t$；当 $t \geq 1$ 时，$y = (\frac{1}{2})^{1 - a}$，因为点$(1,4)$在该曲线上，所以 $4 = (\frac{1}{2})^{1 - a}$，解得 $a = 3$，故 $y = (\frac{1}{2})^{t - 3}$. 所以 $y = f(t) = \begin{cases} 4t, & 0 \leq t ＜ 1, \\ (\frac{1}{2})^{t - 3}, & t \geq 1. \end{cases}$
(2)由 $f(t) \geq 0.25$，得$\begin{cases} 4t \geq 0.25, & 0 \leq t ＜ 1, \\ (\frac{1}{2})^{t - 3} \geq 0.25, & t \geq 1. \end{cases}$ 或解得 $\frac{1}{16} \leq t \leq 5$. 所以服药一次后治疗有效的时间为 $5 - \frac{1}{16} = 4\frac{15}{16}$(时). 【延伸探究】解 设第二次服药在第一次服药 $t_1$ 小时后，依题意有 $(\frac{1}{2})^{t_1 - 3} = 0.25$，所以 $t_1 = 5$，因此第二次服药应该在12:00.