《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

1. (多选题)下列函数为对数函数的是(CD)。

A.$ y = \log_a x + 1 (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $
B.$ y = \log_a(2x) (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $
C.$ y = \log_{(a - 1)}x (a ＞ 1 $，且 $ a \neq 2) $
D.$ y = \lg x $

答案： CD

2. 函数 $ y = \log_2(x - 2) $ 的定义域是(C)。

A.$ (0, +\infty) $
B.$ (1, +\infty) $
C.$ (2, +\infty) $
D.$ [4, +\infty) $

答案： C

3. 函数 $ y = \log_a(x + 2) (0 ＜ a ＜ 1) $ 的图象必不经过(A)。

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： A

4. 已知函数 $ y = \log_a(x - 3) - 1 $ 的图象恒过定点 $ P $，则点 $ P $ 的坐标是$(4,-1)$。

答案： $(4,-1)$

5. 若 $ y = (\log_{\frac{1}{2}}a)^x $ 在 $ \mathbf{R} $ 上为减函数，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 解 因为函数$y=(\log_{\frac{1}{2}}a)^{x}$在R上为减函数，所以$0＜\log_{\frac{1}{2}}a＜1$，即$\log_{\frac{1}{2}}1＜\log_{\frac{1}{2}}a＜\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}＜a＜1$.

【例1】 (1)若对数函数 $ f(x) $ 的图象经过点 $ \left(\frac{1}{16}, -4\right) $，则 $ f(4) = $2；
(2)函数 $ f(x) = \frac{\ln(4 - x)}{x + 2} $ 的定义域为$\{x|x＜4$，且$x\neq-2\}$。

答案：
(1)2
(2)$\{x|x＜4$，且$x\neq-2\}$ 解析
(1)依题意设$f(x)=\log_{a}x(a＞0$，且$a\neq1)$，则有$-4=\log_{a}\frac{1}{16}$，即$a^{-4}=\frac{1}{16}$，解得$a=2$，于是$f(x)=\log_{2}x$，故$f(4)=\log_{2}4=2$.
(2)要使函数有意义，应满足$\begin{cases}4-x＞0\\x+2\neq0\end{cases}$，即$x＜4$，且$x\neq-2$.故函数$f(x)$的定义域为$\{x|x＜4$，且$x\neq-2\}$.

【变式训练1】 (1)(多选题)下列给出的函数是对数函数的有(CD)。
A.$ y = \log_5 x + 1 $
B.$ y = \log_a x^2 (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $
C.$ y = \log_{(\sqrt{3} - 1)}x $
D.$ y = \log_{\frac{2}{\pi}}x $

答案：
(1)CD

(2)函数 $ f(x) = \frac{1}{\lg(x - 3)} $ 的定义域为$\{x|x＞3$，且$x\neq4\}$。

答案：
(2)$\{x|x＞3$，且$x\neq4\}$
解析
(1)只有选项C,D中的函数符合对数函数的定义.
(2)要使函数有意义，应满足$\begin{cases}x-3＞0\\\lg(x-3)\neq0\end{cases}$，$x＞3$，且$x\neq4$.故定义域为$\{x|x＞3$，且$x\neq4\}$.

【例2】 (1)已知 $ a ＞ 1 $，$ b ＜ -1 $，则函数 $ y = \log_a(x - b) $ 的图象不经过(D)。
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案：
(1)D

(2)若函数 $ f(x) = \log_a(2x - 3) - 4 (a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1) $ 的图象一定经过定点 $ P $，则点 $ P $ 的坐标为$(2,-4)$。

答案：

(2)$(2,-4)$
解析
(1)由题意可知函数$y=\log_{a}(x-b)$的图象如图所示，

故选D.
(2)令$2x-3=1$，得$x=2$.于是$f(2)=\log_{a}(2×2-3)-4=0-4=-4$，所以图象经过定点$P(2,-4)$.