《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例 1】判断下列四个命题的真假：
(1) 若$a ＜ b ＜ 0$，则$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$；
(2) 若$a ＞ b ＞ c$，则有$a|c| ＞ b|c|$；
(3) 若$a ＞ b, c ＜ d$，则有$a - c ＞ b - d$；
(4) 若$b ＜ a ＜ 0, n \in \mathbf{N}, n ＞ 1$，且$n$为奇数，则有$a^n ＞ b^n$。

答案： 【例1】解
(1)$\because a ＜ b ＜ 0$，$\therefore ab ＞ 0$，$\therefore \frac{1}{ab} ＞ 0$，
$\therefore a · \frac{1}{ab} ＜ b · \frac{1}{ab}$，$\therefore \frac{1}{b} ＜ \frac{1}{a}$
$\therefore$该命题是假命题。
(2)$\because a ＞ b,|c| \geq 0$，
当$c \neq 0$时，$|c| ＞ 0$，$\therefore a|c| ＞ b|c|$；
当$c = 0$时，$|c| = 0$，$\therefore a|c| = b|c| = 0$。
$\therefore$该命题是假命题。
(3)$\because c ＜ d$，$\therefore -c ＞ -d$。又$a ＞ b$，
$\therefore a + (-c) ＞ b + (-d)$。即$a - c ＞ b - d$。
$\therefore$该命题是真命题。
(4)$\because b ＜ a ＜ 0$，$\therefore -b ＞ -a ＞ 0$。
$\therefore (-b)^n ＞ (-a)^n(n \in N,n ＞ 1)$。
$\because n$为奇数，$\therefore -b^n ＞ -a^n$，$\therefore a^n ＞ b^n$。
$\therefore$该命题是真命题。

【变式训练 1】(多选题) 已知$a, b, c$满足$c ＜ b ＜ a$，且$ac ＜ 0$，则下列不等式成立的是(ABD)。

A.$\frac{b}{a} ＞ \frac{c}{a}$
B.$\frac{b - a}{c} ＞ 0$
C.$\frac{b^2}{c} ＞ \frac{a^2}{c}$
D.$\frac{a - c}{ac} ＜ 0$

答案： 【变式训练1】ABD 解析因为$c ＜ b ＜ a$，且$ac ＜ 0$，
所以$c ＜ 0,a ＞ 0$，所以$\frac{1}{a} ＞ 0$。因为$b ＞ c$，所以$\frac{b}{a} ＞ \frac{c}{a}$，故
A项符合题意；因为$b - a ＜ 0,c ＜ 0$，所以$\frac{b - a}{c} ＞ 0$，故B
项符合题意；因为$a - c ＞ 0,ac ＜ 0$，所以$\frac{a - c}{ac} ＜ 0$，故D项
符合题意；由于$b^2$与$a^2$的关系不确定，故$\frac{b^2}{c} ＞ \frac{a^2}{c}$不一定
成立，故C项不符合题意。

【例 2】(1) 已知$a ＞ b, e ＞ f, c ＞ 0$，求证：$f - ac ＜ e - bc$；
(2) 已知$a ＞ b ＞ 0, c ＜ d ＜ 0$，求证：$(\frac{a}{d})^3 ＜ (\frac{b}{c})^3$。
分析 根据条件选择合适的不等式的基本性质证明有关不等式。
延伸探究
将本例 (2) 添加条件“$e ＜ 0$”，求证：$\frac{e}{a - c} ＞ \frac{e}{b - d}$。

答案： 【例2】证明
(1)$\because a ＞ b,c ＞ 0$，$\therefore ac ＞ bc$，
$\therefore -ac ＜ -bc$。$\because f ＜ e$，$\therefore f - ac ＜ e - bc$。
(2)$\because c ＜ d ＜ 0$，$\therefore -c ＞ -d ＞ 0$，
$\therefore \frac{1}{d} ＞ \frac{1}{c} ＞ 0$。
又$a ＞ b ＞ 0$，$\therefore -\frac{a}{d} ＞ -\frac{b}{c} ＞ 0$，
$\therefore (-\frac{a}{d})^3 ＞ (-\frac{b}{c})^3$，即$-(\frac{a}{d})^3 ＞ -(\frac{b}{c})^3$。
两边同乘$-1$，得$(\frac{a}{d})^3 ＜ (\frac{b}{c})^3$。
【延伸探究】
证明$\because c ＜ d ＜ 0$，$\therefore -c ＞ -d ＞ 0$。
又$a ＞ b ＞ 0$，$\therefore a + (-c) ＞ b + (-d) ＞ 0$，
即$a - c ＞ b - d ＞ 0$，$\therefore 0 ＜ \frac{1}{a - c} ＜ \frac{1}{b - d}$。
$\because e ＜ 0$，$\therefore \frac{e}{a - c} ＞ \frac{e}{b - d}$。