《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例2】用描述法表示下列集合：
（1）不等式$3x - 6\geq0$的解集；
（2）所有偶数组成的集合；
（3）函数$y = 2x - 1$的图象上的点组成的集合。
延伸探究
1. 把本例（2）换成小于$10$的所有正偶数组成的集合，用描述法怎样表示？
2. 把本例（3）换成在平面直角坐标系中，第一、第三象限的点组成的集合，如何求解？

答案： 解
(1)不等式$3x - 6 \geqslant 0$的解是$x \geqslant 2$，所求集合用描述法表示为$\{x \mid x \geqslant 2\}$.
(2)因为$x = 2k(k \in \mathbf{Z})$是所有偶数的一个共同特征，所以所有偶数组成的集合可以表示为$\{x \mid x = 2k,k \in \mathbf{Z}\}$.
(3)函数$y = 2x - 1$的图象上的点的坐标为$(x,y)$，所求集合为$\{(x,y) \mid y = 2x - 1\}$.
【延伸探究】
1.解 小于10的正偶数有2,4,6,8，用式子表示为$x = 2k,1 \leqslant k ＜ 5$，且$k \in \mathbf{Z}$，所求集合用描述法表示为$\{x \mid x = 2k,1 \leqslant k ＜ 5$，且$k \in \mathbf{Z}\}$.
2.解 第一、第三象限中的点$(x,y)$满足$xy ＞ 0$，所求集合可以表示为$\{(x,y) \mid xy ＞ 0\}$.

【变式训练2】用描述法表示下列集合：
（1）直线$y = x$上去掉原点的所有点组成的集合；
（2）被$5$除余$2$的所有正整数组成的集合；
（3）所有的正方形组成的集合。

答案： 解
(1)\{(x,y) \mid y = x,x \neq 0\}.
(2)被5除余2的正整数可以表示为$x = 5k + 2,k \in \mathbf{N}$，所求集合用描述法表示为$\{x \mid x = 5k + 2,k \in \mathbf{N}\}$.
(3)用描述法表示为$\{x \mid x$是正方形$\}$.

【例3】用适当的方法表示下列集合：
（1）方程组$\begin{cases}2x - 3y = 14\\3x + 2y = 8\end{cases}$的解集；
（2）绝对值不大于$3$的所有实数组成的集合；
（3）反比例函数$y = -\frac{1}{x}$的自变量组成的集合；
（4）抛物线$y = x^{2}-2x$与$x$轴的交点组成的集合。

答案： 解
(1)解方程组$\begin{cases}2x - 3y = 14,\\3x + 2y = 8.\end{cases}$得$\begin{cases}x = 4,\\y = -2.\end{cases}$故该集合用列举法表示为$\{(4,-2)\}$.
(2)集合的代表元素是数$x$，共同特征是$x \in \mathbf{R}$，$\vert x \vert \leqslant 3$，故该集合用描述法表示为$\{x \in \mathbf{R} \mid \vert x \vert \leqslant 3\}$.
(3)反比例函数$y = -\frac{1}{x}$的自变量$x \in \mathbf{R}$，且$x \neq 0$，故该集合用描述法表示为$\{x \in \mathbf{R} \mid x \neq 0\}$.
(4)抛物线$y = x^{2}-2x$与$x$轴相交于点$(0,0)$和$(2,0)$，故该集合用列举法表示为$\{(0,0),(2,0)\}$.