《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

1. 给出下列命题：
①$\sqrt{2}$是有理数；
②35 能被 5 整除；
③$\sqrt{2}$不是有理数；
④35 不能被 5 整除.
(1) 比较①和③，②和④，它们之间有什么关系？
(2) 试判断以上四个命题的真假.

答案： 提示
(1)命题③是对命题①的否定；命题④是对命题②的否定.
(2)①假；②真；③真；④假.

2. (1) 一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.
(2) 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

答案：
(1)否定
(2)一真一假

1. 写出下列命题的否定：
(1) 所有的正比例函数都是一次函数；
(2) 每一个有理数都能写成分数形式.

答案： 提示
(1)并非所有的正比例函数都是一次函数.
(2)并非每一个有理数都能写成分数形式.

2. 怎样用存在量词改写上述两个命题的否定？

答案： 提示
(1)存在一个正比例函数不是一次函数.
(2)存在一个有理数不能写成分数形式.

3. 以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？

答案： 提示这两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.

4. 全称量词命题的否定

答案： ∃x∈M,¬p(x) 存在量词

5. 命题“$\forall x\in \mathbf{R}$，都有$x^{2}-x + 1＞0$”的否定是(C).
A. $\forall x\in \mathbf{R}$，都有$x^{2}-x + 1\leqslant0$
B. $\exists x\in \mathbf{R}$，使$x^{2}-x + 1＞0$
C. $\exists x\in \mathbf{R}$，使$x^{2}-x + 1\leqslant0$
D. 以上均不正确

答案： 5.C 解析原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题.故选C.

1. 写出下列命题的否定：
(1) 有些矩形是正方形；
(2) $\exists x\in \mathbf{R},x^{3}-1 = 0$.

答案： 提示
(1)没有一个矩形是正方形.
(2)不存在x∈R,x³−1=0.

2. 怎样用全称量词改写上述两个命题的否定？

答案： 提示
(1)每一个矩形都不是正方形.
(2)∀x∈R,x³−1≠0.

3. 以上两个命题的否定与原命题在形式上有什么变化？

答案： 提示这两个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.