《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

2. 设$x\in\mathbf{R}$，则“$2 - x\geqslant0$”是“$|x + 1|\leqslant1$”的(B)。

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 2.B 解析由2 - x≥0，得x≤2；由|x + 1|≤1，
得-1≤x + 1≤1，得-2≤x≤0.则“2 - x≥0”是“|x - 1|≤1”的必要不充分条件.

3. 一次函数$y = -\frac{m}{n}x+\frac{1}{n}$的图象同时经过第一、第三、第四象限的充要条件是(C)。

A.$m\gt1$，且$n\lt1$
B.$mn\lt0$
C.$m\gt0$，且$n\lt0$
D.$m\lt0$，且$n\lt0$

答案： 3.C 解析因为直线$y = -\frac{m}{n}x+\frac{1}{n}$经过第一、第三、四象限，所以$-\frac{m}{n}＞0，$$\frac{1}{n}$＜0，所以m＞0，n＜0，此为充要条件.

4. (多选题)已知$p$是$r$的充分不必要条件，$q$是$r$的充分条件，$s$是$r$的必要条件，$q$是$s$的必要条件，下列结论正确的是(AB)。

A.$r$是$q$的充要条件
B.$p$是$q$的充分不必要条件
C.$r$是$q$的必要不充分条件
D.$r$是$s$的充分不必要条件

答案： 4.AB 解析依题意，p⇒r，r⇒p，q⇒r，r⇒s，s⇒q，
故r⇒q，且q⇒r，故A正确，C不正确；由p⇒q，q⇒p，
知B正确；由r⇒s，且s⇒r，知D不正确.故选AB.

5. 在平面直角坐标系中，$-5＜x＜1$是点$(x + 5,1 - x)$在第一象限的充要条件。

答案： 5.-5＜x＜1 解析依题意，点(x + 5，1 - x)在第一象限⇔\begin{cases}x + 5＞$0,\\1 - x＞0,\end{cases}$解得-5＜x＜1.

6. 已知$p$：$x\gt a$是$q$：$2\lt x\lt3$的必要不充分条件，则实数$a$的取值范围是$\{a|a\leq2\}$。

答案： 6.{a|a≤2} 解析由已知，可得{x|2＜x＜3}⊊{x|x＞a}，故a≤2.

7. 设$n\in\mathbf{N}^{*}$，$n = $3或4是一元二次方程$x^{2}-4x + n = 0$有整数根的充要条件。

答案： 7.3或4 解析由Δ = 16 - 4n≥0，得n≤4，又$n∈N^{*}，$则n = 1，2，3，4.当n = 1，2时，方程没有整数根；当n = 3时，方程有整数根1，3；当n = 4时，方程有整数根2.
综上可知，n = 3或4.

8. 已知集合$P=\{x|-2\leqslant x\leqslant10\}$，非空集合$S=\{x|1 - m\leqslant x\leqslant1 + m\}$。
(1) 若“$x\in P$”是“$x\in S$”的必要条件，求实数$m$的取值范围；
(2) 是否存在实数$m$，使“$x\in P$”是“$x\in S$”的充要条件。

答案： 8.解
(1)由“x∈P”是“x∈S”的必要条件，知S⊊
$\begin{cases}1 - m≤1 + m，$\\1 - m≥ - 2，\\1 + m≤10，$\end{cases}$解得0≤m≤3.
故当0≤m≤3时，“x∈P”是“x∈S”的必要条件，即所求m的取值范围是{m|0≤m≤3}.
(2)若“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P = S，得$\begin{cases}1 - m = - 2，$\\1 + m = 10，$\end{cases}$方程组无解，即不存在实数m，使“x∈P”是“x∈S”的充要条件.

9. 设$x$，$y\in\mathbf{R}$，求证：$xy\geqslant0$是$|x + y| = |x| + |y|$成立的充要条件。

答案： 9.证明①充分性：若xy≥0，则有xy = 0和xy＞0两种情况.
当xy = 0时，不妨设x = 0，则|x + y| = |y|，|x|+|y| = |y|，等式成立；
当xy＞0时，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0.
当x＞0，y＞0时，|x + y| = x + y，|x|+|y| = x + y，等式成立；
当x＜0，y＜0时，|x + y| = -(x + y)，|x|+|y| = -x - y，等式成立；
总之，当xy≥0时，|x + y| = |x|+|y|成立.
②必要性：若|x + y| = |x|+|y|，且x，y∈R，则|x + y|$^{2}=($|x|+|y|$)^{2}，$即$x^{2}+2xy + y^{2}=x^{2}+y^{2}+2$|x||y|，则|xy| = xy，即xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x + y| = |x|+|y|成立的充要条件.