《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【例2】已知$f(\alpha)=\frac{\sin(\pi-\alpha)\cos(-\alpha)\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{\cos(\pi+\alpha)\sin(-\alpha)}$。
（1）化简$f(\alpha)$；
（2）若角$A$是$\triangle ABC$的内角，且$f(A)=\frac{3}{5}$，求$\tan A-\sin A$的值。

答案：
(1)$f(\alpha)=\frac{\sin\alpha\cos\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha(-\sin\alpha)}=\cos\alpha$.
(2)由
(1)得$f(A)=\cos A=\frac{3}{5}$.
$\because A$为$\triangle ABC$的内角，$\therefore0＜A＜\pi$.
$\therefore\sin A=\sqrt{1 - \cos^{2}A}=\frac{4}{5}.\therefore\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{4}{3}$.
$\therefore\tan A - \sin A=\frac{4}{3}-\frac{4}{5}=\frac{8}{15}$.

【变式训练2】已知$\sin(3\pi+\alpha)=2\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$，则$\frac{\sin(\pi-\alpha)-4\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)}{5\sin(2\pi+\alpha)+2\cos(2\pi-\alpha)}=\underline{\$$-\frac{1}{6}$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

答案： $-\frac{1}{6}$ 解析$\because\sin(3\pi+\alpha)=$
$2\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha)$，$\therefore-\sin\alpha=-2\cos\alpha$，即$\sin\alpha=2\cos\alpha$.
$\therefore$原式$=\frac{\sin\alpha - 4\cos\alpha}{5\sin\alpha+2\cos\alpha}=\frac{2\cos\alpha - 4\cos\alpha}{10\cos\alpha+2\cos\alpha}=\frac{1}{6}$.

【例3】求证：$\frac{\tan(2\pi-\alpha)\sin(-2\pi-\alpha)\cos(6\pi-\alpha)}{\sin(\alpha+\frac{3\pi}{2})\cos(\alpha+\frac{3\pi}{2})}=-\tan\alpha$。
分析 观察待证等式，左边比较复杂，可以由左向右证明。

答案： 【例3】证明$\because$左边
$=\frac{\tan(-\alpha)·\sin(-\alpha)·\cos(-\alpha)}{\sin[2\pi-(\frac{\pi}{2}-\alpha)]·\cos[2\pi-(\frac{\pi}{2}-\alpha)]}=$
$\frac{(-\tan\alpha)·(-\sin\alpha)·\cos\alpha}{\sin[-(\frac{\pi}{2}-\alpha)]\cos[-(\frac{\pi}{2}-\alpha)]}=$
$\frac{\sin^{2}\alpha}{-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=$
$\frac{\sin^{2}\alpha}{-\cos\alpha\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{-\cos\alpha}=-\tan\alpha=$右边，
$\therefore$原等式成立.