《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

【变式训练 3】求下列各式的值：
(1) $ \cos \frac{25\pi}{3} + \tan \left( -\frac{15\pi}{4} \right) $；
(2) $ \sin(-1740^{\circ})\cos 1470^{\circ} + \cos(-660^{\circ}) · \sin 750^{\circ} + \tan 405^{\circ} $。

答案： [变式训练3]解
(1)原式$=\cos(8\pi+\frac{\pi}{3})+\tan(-4\pi+\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{3}+\tan\frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$.
(2)原式$=\sin(60^{\circ}-5×360^{\circ})\cos(30^{\circ}+4×360^{\circ})+\cos(60^{\circ}-2×360^{\circ})\sin(30^{\circ}+2×360^{\circ})+\tan(45^{\circ}+360^{\circ})=\sin60^{\circ}\cos30^{\circ}+\cos60^{\circ}\sin30^{\circ}+\tan45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+1=2$.

忽视对参数的分类讨论致错
【典例】已知角 $ \alpha $ 的终边过点 $ P(-3m, m)(m \neq 0) $，求 $ \sin \alpha $。

答案： 答题卡作答：
由题意，角$\alpha$的终边过点$P(-3m, m)$，其中$m \neq 0$。
计算原点到点P的距离：
$|OP| = \sqrt{(-3m)^{2} + m^{2}} = \sqrt{10}|m|$
当$m ＞ 0$时：
$\sin\alpha = \frac{y}{|OP|} = \frac{m}{\sqrt{10}m} = \frac{\sqrt{10}}{10}$
当$m ＜ 0$时：
$\sin\alpha = \frac{y}{|OP|} = \frac{m}{-\sqrt{10}m} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$
综上所述，$\sin\alpha$的值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$或$-\frac{\sqrt{10}}{10}$。

【变式训练】已知角 $ \alpha $ 的终边上一点 $ P(4t, -3t)(t \neq 0) $，求角 $ \alpha $ 的三角函数值。

答案： [变式训练]解因为点$P$的坐标是$(4t,-3t)(t\neq0)$，所以$|PO|=\sqrt{(4t)^{2}+(-3t)^{2}} = 5|t|$（$O$为坐标原点）.
当$t\gt0$时，$|PO| = 5t$，$\sin\alpha=\frac{-3t}{5t}=-\frac{3}{5}$，$\cos\alpha=\frac{4t}{5t}=\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{-3t}{4t}=-\frac{3}{4}$.
当$t\lt0$时，$|PO| = -5t$，$\sin\alpha=\frac{-3t}{-5t}=\frac{3}{5}$，$\cos\alpha=\frac{4t}{-5t}=-\frac{4}{5}$，$\tan\alpha=\frac{-3t}{4t}=-\frac{3}{4}$.