《2025年同步练习册人民教育出版社高一数学必修第一册人教版》

3. “$a + c ＞ b + d$”是“$a ＞ d$，且$c ＞ b$”的(A)。

A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 3.A 解析易得当$a ＞ b$，且$c ＞ d$时必有$a + c ＞ b + d$。但当$a + c ＞ b + d$时，不一定有$a ＞ d$，且$c ＞ b$。

4. 若$a ＞ b ＞ c$，且$a + b + c = 0$，则下列不等式中正确的是(A)。

A.$ab ＞ ac$
B.$ac ＞ bc$
C.$a|b| ＞ c|b|$
D.$a^2 ＞ b^2 ＞ c^2$

答案： 4.A 解析由$a ＞ b ＞ c$及$a + b + c = 0$，知$a ＞ 0,c ＜$
$0$，$\begin{vmatrix} a ＞ 0, \\ b ＞ c \end{vmatrix} \Rightarrow ab ＞ ac$。

5. (多选题) 下列条件，能推出$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$成立的有(ABD)。

A.$b ＞ 0 ＞ a$
B.$0 ＞ a ＞ b$
C.$a ＞ 0 ＞ b$
D.$a ＞ b ＞ 0$

答案： 5.ABD 解析由$a ＞ b,ab ＞ 0$，可得$\frac{1}{a} ＜ \frac{1}{b}$，故BD
正确；由正数大于负数，可知A正确，C错误，故选ABD。

6. 若$8 ＜ x ＜ 10, 2 ＜ y ＜ 4$，则$\frac{x}{y}$的取值范围为2 ＜ \frac{x}{y} ＜ 5。

答案： 6.$2 ＜ \frac{x}{y} ＜ 5$ 解析$\because 2 ＜ y ＜ 4$，$\therefore \frac{1}{4} ＜ \frac{1}{y} ＜ \frac{1}{2}$
$\because 8 ＜ x ＜ 10$，$\therefore \frac{8}{4} ＜ \frac{x}{y} ＜ \frac{10}{2}$，即$2 ＜ \frac{x}{y} ＜ 5$。

7. 若$-10 ＜ a ＜ b ＜ 8$，则$|a| + b$的取值范围是0 ＜ |a| + b ＜ 18。

答案： 7.$0 ＜ |a| + b ＜ 18$

8. 已知$-\frac{1}{2} \leq \alpha ＜ \beta \leq \frac{1}{2}$，求$\frac{\alpha + \beta}{2}, \frac{\alpha - \beta}{2}$的取值范围。

答案： 8.解由题意，得$-\frac{1}{4} \leq \frac{\alpha}{2} \leq \frac{1}{4}$，$-\frac{1}{4} \leq \frac{\beta}{2} \leq \frac{1}{4}$，将
两式相加，得$-\frac{1}{2} \leq \frac{\alpha + \beta}{2} \leq \frac{1}{2}$。
$\because -\frac{1}{4} \leq \frac{\alpha}{2} \leq \frac{1}{4}$，$-\frac{1}{4} \leq \frac{\beta}{2} \leq \frac{1}{4}$，
$\therefore -\frac{1}{4} - \frac{\beta}{2} \leq \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} \leq \frac{1}{4} - \frac{\beta}{2}$，
$\therefore -\frac{1}{2} \leq \frac{\alpha - \beta}{2} \leq \frac{1}{2}$。
又$\alpha ＜ \beta$，$\therefore \frac{\alpha - \beta}{2} ＜ 0$，故$-\frac{1}{2} \leq \frac{\alpha - \beta}{2} ＜ 0$。

9. 已知$a ＞ b ＞ c ＞ 1$，设$M = a - \sqrt{c}, N = a - \sqrt{b}, P = 2(\frac{a + b}{2} - \sqrt{ab})$，试比较$M, N, P$的大小。

答案： 9.解因为$b ＞ c ＞ 1$，所以$\sqrt{b} ＞ \sqrt{c}$，所以$-\sqrt{b} ＜ -\sqrt{c}$，
所以$a - \sqrt{b} ＜ a - \sqrt{c}$，即$N ＜ M$。
因为$P - N = a + b - 2\sqrt{ab} - (a - \sqrt{b}) = b -$
$2\sqrt{ab} + \sqrt{b} = \sqrt{b}(\sqrt{b} - 2\sqrt{a} + 1) = \sqrt{b}[(\sqrt{b} - \sqrt{a}) +$
$(1 - \sqrt{a})]$，又$a ＞ b ＞ c ＞ 1$，
所以$\sqrt{b} - \sqrt{a} ＜ 0,1 - \sqrt{a} ＜ 0$，
所以$P - N ＜ 0$，所以$P ＜ N$。
综上可知，$P ＜ N ＜ M$。