《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

11. 如图，四边形 $ABCD$ 是菱形，$\odot O$ 经过点 $A$，$C$，$D$，与 $BC$ 相交于点 $E$，连接 $AC$，$AE$. 若 $\angle D = 80^{\circ}$，则 $\angle EAC$ 的度数为30^{\circ}.
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答案： $11.30^{\circ}$

12. 如图，$\odot C$ 过原点，且与两坐标轴分别交于点 $A$，$B$，点 $A$ 的坐标为 $(0,3)$，$M$ 是第三象限内 $\overgroup{OB}$ 上一点，$\angle BMO = 120^{\circ}$，则 $\odot C$ 的半径为(C)

A.6
B.5
C.3
D.$\frac{1}{3}$
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答案： 12.C

13. (泰安中考)如图，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$\angle B = 90^{\circ}$，$\angle BCD = 120^{\circ}$，$AB = 2$，$CD = 1$，则 $AD$ 的长为(C)

A.$2\sqrt{3}-2$
B.$3-\sqrt{3}$
C.$4-\sqrt{3}$
D.2
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答案： 13.C

14. （威海中考）如图，四边形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，连接 $AC$，$BD$，延长 $CD$ 至点 $E$.
（1）若 $AB = AC$，求证：$\angle ADB = \angle ADE$；
（2）若 $BC = 3$，$\odot O$ 的半径为 2，求 $\sin\angle BAC$ 的值.

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答案： 14.解：
(1)证明：
∵∠ADE+∠ADC=180°，∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ADE=∠ABC.
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ADB=∠ADE.
(2)连接CO并延长，交⊙O于点F，连接BF，则∠FBC=90°.在Rt△BCF中，CF=4，BC=3，
∴$sinF=\frac{BC}{CF}=\frac{3}{4}.$
∵∠F=∠BAC，
∴$sin∠BAC=\frac{3}{4}.$

15. （北京中考）如图，圆内接四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $E$，$BD$ 平分 $\angle ABC$，$\angle BAC = \angle ADB$.
（1）求证：$DB$ 平分 $\angle ADC$，并求 $\angle BAD$ 的大小；
（2）过点 $C$ 作 $CF // AD$，交 $AB$ 的延长线于点 $F$. 若 $AC = AD$，$BF = 2$，求此圆半径的长.

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答案： 15.解：
(1)证明：
∵∠BAC=∠ADB，∠BAC=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB.
∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°.
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°.
∴∠ABD+∠ADB=90°.
∴∠BAD=180°-90°=90°.
(2)
∵∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE，
∴∠ADE+∠DAE=90°.
∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°，
∴BD是圆的直径.
∴BD垂直平分AC.
∴AD=CD.
∵AC=AD，
∴△ACD是等边三角形.
∴∠ADC=60°.
∴$∠BDC=\frac{1}{2}∠ADC=30°.$
∵CF//AD，
∴∠F+∠BAD=90°.
∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°，
∴∠FBC=∠ADC=60°.
∴∠FCB=30°.
∴BC=2BF=4.
∵∠BCD=90°，∠BDC=30°，
∴BD=2BC=8.
∵BD是圆的直径，
∴圆的半径长是4.