《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

1. 已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 经过 $ (1,-1) $，$ (2,-4) $ 和 $ (0,4) $ 三点，那么 $ a = $1，$ b = $-6，$ c = $4。

答案： 1.1 -6 4

2. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 1 $；当 $ x = -1 $ 时，$ y = 6 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 0 $。求这个二次函数的表达式。

答案： 2.解：依题意，得$\begin{cases}c = 1,\\a - b + c = 6,\\a + b + c = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = - 3,\\c = 1.\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = 2x^{2}-3x + 1。$

3. 如图所示，抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$。

答案： $3.y = -\frac{1}{2}x^{2}+x + 4$

4. (百色中考)经过 $ A(4,0) $，$ B(-2,0) $，$ C(0,3) $ 三点的抛物线的表达式是y = -\frac{3}{8}(x - 4)(x + 2)（或写成y = -\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x + 3）。

答案： $4.y = -\frac{3}{8}(x - 4)(x + 2)（$或写成$y = -\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{4}x + 3）$

5. 已知抛物线与 $ x $ 轴交于点 $ A(-3,0) $，对称轴是直线 $ x = -1 $，且过点 $ (2,4) $，求抛物线的表达式。

答案： 5.解：设抛物线的表达式为$y = a(x + 1)^{2}+h，$将A(-3,0)，(2,4)代入，得$\begin{cases}a\cdot(-3 + 1)^{2}+h = 0,\\a\cdot(2 + 1)^{2}+h = 4.\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \frac{4}{5},\\h = -\frac{16}{5}.\end{cases}$
∴抛物线的表达式为$y = \frac{4}{5}(x + 1)^{2}-\frac{16}{5}。$

6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 $ y $ 轴的交点是 $ (0,5) $，且经过两个长、宽分别为 $ 4 $ 和 $ 2 $ 的相同的长方形的顶点，则这条抛物线对应的函数关系式是y = -\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x + 5。

答案： $6.y = -\frac{5}{24}x^{2}-\frac{1}{12}x + 5$

7. 如图，在平面直角坐标系中，$ Rt\triangle OBC $ 的两条直角边分别落在 $ x $ 轴、$ y $ 轴上，且 $ OB = 1 $，$ OC = 3 $，将 $ \triangle OBC $ 绕原点 $ O $ 顺时针旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle OEA $，将 $ \triangle OBC $ 沿 $ y $ 轴翻折得到 $ \triangle ODC $，$ AE $ 与 $ CD $ 交于点 $ F $。若抛物线过点 $ A $，$ B $，$ C $，则此抛物线的函数表达式为y = x^{2}+2x - 3。

答案： $7.y = x^{2}+2x - 3$

8. (宁波中考)如图，已知抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A(1,0) $，$ B(3,0) $，且过点 $ C(0,-3) $。
(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2) 请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 $ y = -x $ 上，并写出平移后抛物线的表达式。

答案： 8.解：
(1)设抛物线的表达式为y = a(x - 1)(x - 3)。
∵抛物线过点C(0,-3)，
∴-3 = a(-1)×(-3)。解得a = -1。
∴$y = -(x - 1)(x - 3)= -x^{2}+4x - 3。$
∵$y = -x^{2}+4x - 3 = -(x - 2)^{2}+1，$
∴顶点坐标为(2,1)。
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的表达式为$y = -x^{2}，$平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y = -x上。

9. 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $，$ B $ 两点，与 $ y $ 轴正半轴交于点 $ C $，且 $ AC = 20 $，$ BC = 15 $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，则此抛物线的表达式为y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{7}{12}x + 12或y = -\frac{1}{12}x^{2}-\frac{7}{12}x + 12。

答案： $9.y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{7}{12}x + 12$或$y = -\frac{1}{12}x^{2}-\frac{7}{12}x + 12$