《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

1. 下列条件，可以画出唯一一个圆的是(D)

A.已知圆心
B.已知半径
C.已知直径
D.已知不在同一条直线上的三个点

答案： 1.D

2. 平面直角坐标系内的三个点$A(1,-3)$，$B(0,-3)$，$C(2,-3)$，不能确定一个圆(填“能”或“不能”)。

答案： 2.不能

3. 平面上有三个点$A$，$B$，$C$，若$AB = 5\mathrm{cm}$，$BC = 3\mathrm{cm}$，$CA = 4\mathrm{cm}$，则过$A$，$B$，$C$三点可以(填“可以”或“不可以”)确定一个圆，且圆心在AB上，是AB的中点。

答案： 3.可以 AB AB

4. (株洲中考)如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，$\angle A = 68^{\circ}$，则$\angle OBC$的大小是(A)

A.$22^{\circ}$
B.$26^{\circ}$
C.$32^{\circ}$
D.$68^{\circ}$

答案： 4.A

5. (教材九下P27随堂练习变式)一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是(C)

A.任意三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形

答案： 5.C

6. 已知直角三角形的两条直角边的长分别是$3\mathrm{cm}$，$4\mathrm{cm}$，则它的外接圆的半径是(B)

A.$2\mathrm{cm}$
B.$2.5\mathrm{cm}$
C.$3.5\mathrm{cm}$
D.$5\mathrm{cm}$

答案： 6.B

7. 如图，在$5×5$正方形网格中，一条圆弧经过$A$，$B$，$C$三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)

A.点$P$
B.点$Q$
C.点$R$
D.点$M$

答案： 7.B

8. (扬州中考)如图，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，直径$AD = 4$，$\angle ABC = \angle DAC$，则$AC$的长为2\sqrt{2}。

答案： $8.2\sqrt{2}$

9. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的高。请用尺规作图法，求作$\triangle ABC$的外接圆。(保留作图痕迹，不写作法)

【拓展】若$AB = AC = 2\sqrt{10}$，$BC = 4$，则$\triangle ABC$的外接圆的半径为_______。

答案： 1. 首先求$AD$的长度：
因为$AB = AC$，$AD\perp BC$，$BC = 4$，根据等腰三角形三线合一，$BD=\frac{1}{2}BC = 2$。
在$Rt\triangle ABD$中，由勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$c = AB$，$a = BD$，$b = AD$），已知$AB = 2\sqrt{10}$，$BD = 2$，则$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$。
代入数值可得$AD=\sqrt{(2\sqrt{10})^{2}-2^{2}}=\sqrt{40 - 4}=\sqrt{36}=6$。
2. 然后设$\triangle ABC$外接圆的圆心为$O$，半径为$R$，连接$OB$：
设$OD = 6 - R$，在$Rt\triangle OBD$中，根据勾股定理$OB^{2}=OD^{2}+BD^{2}$。
因为$OB = R$，$BD = 2$，$OD=6 - R$，所以$R^{2}=(6 - R)^{2}+2^{2}$。
展开$(6 - R)^{2}+2^{2}$得$R^{2}=36-12R + R^{2}+4$。
移项：
$R^{2}-R^{2}+12R=36 + 4$。
合并同类项得$12R = 40$。
解得$R=\frac{10}{3}$。
所以$\triangle ABC$的外接圆的半径为$\frac{10}{3}$。

10. 下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等；④圆有且只有一个内接三角形，其中正确的有②(填序号)。

答案： 10.②

11. 已知圆内接$\triangle ABC$，$AB = AC$，圆心点$O$到$BC$的距离是$3\mathrm{cm}$，圆的半径为$7\mathrm{cm}$，则腰长$AB =$2\sqrt{35}或2\sqrt{14}$\mathrm{cm}$。

答案： $11.2\sqrt{35}$或$2\sqrt{14}$