《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

5.（河南中考）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析。
如图，在平面直角坐标系中，点$A$，$C$在$x$轴上，球网$AB$与$y$轴的水平距离$OA = 3\mathrm{m}$，$CA = 2\mathrm{m}$，击球点$P$在$y$轴上。若选择扣球，羽毛球的飞行高度$y(\mathrm{m})$与水平距离$x(\mathrm{m})$近似满足一次函数关系$y = - 0.4x + 2.8$；若选择吊球，羽毛球的飞行高度$y(\mathrm{m})$与水平距离$x(\mathrm{m})$近似满足二次函数关系$y = a(x - 1)^{2}+3.2$。
(1)求点$P$的坐标和$a$的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网。要使球的落地点到点$C$的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式。

答案： 5.解：
(1)在一次函数y=-0.4x+2.8中，令x=0，得y=2.8．
∴P(0,2.8)．将P(0,2.8)代入$y=a(x-1)^{2}+3.2，$得a+3.2=2.8，解得a=-0.4．
(2)
∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=5m．选择扣球，则令y=0，即-0.4x+2.8=0，解得x=7．
∴落地点到点O的距离为7m．
∴落地点到点C的距离为7-5=2(m)．选择吊球，则令y=0，即$-0.4(x-1)^{2}+3.2=0，$解得$x=±2\sqrt{2}+1($负值舍去)．
∴落地点到点O的距离为$(2\sqrt{2}+1)m．$
∴落地点到点C的距离为$5-(2\sqrt{2}+1)=(4-2\sqrt{2})m．$
∵$4-2\sqrt{2}＜2，$
∴选择吊球，球的落地点到点C的距离更近．

6.（台州中考）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）。
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为$H$（单位：$\mathrm{cm}$），如果在离水面竖直距离为$h$（单位：$\mathrm{cm}$）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）$s$（单位：$\mathrm{cm}$）与$h$的关系为$s^{2}=4h(H - h)$。
应用思考：现用高度为$20\mathrm{cm}$的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离$h\mathrm{cm}$处开一个小孔。
(1)写出$s^{2}$与$h$的关系式；并求出当$h$为何值时，射程$s$有最大值，最大射程是多少？
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为$a$，$b$，要使两孔射出水的射程相同，求$a$，$b$之间的关系式；
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加$16\mathrm{cm}$，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离。

答案： 6.解：
(1)
∵$s^{2}=4h(H-h)，$
∴当H=20时，$s^{2}=4h(20-h)=-4(h-10)^{2}+400．$
∴当h=10时，$s^{2}$有最大值400．
∴当h=10时，s有最大值20．
∴当h=10时，射程s有最大值，最大射程是20cm．
(2)假设存在a，b，使两孔射出水的射程相同．
∵$s^{2}=4h(20-h)，$
∴根据题意，得4a(20-a)=4b(20-b)．
∴$20a-a^{2}=20b-b^{2}．$
∴$a^{2}-b^{2}=20a-20b．$
∴(a+b)(a-b)=20(a-b)．
∴(a-b)(a+b-20)=0．
∴a-b=0或a+b-20=0．
∴a=b或a+b=20．
(3)设垫高的高度为mcm，则$s^{2}=4h(20+m-h)=-4(h-\frac{20+m}{2})^{2}+(20+m)^{2}．$
∴当$h=\frac{20+m}{2}$时，S最大=20+m=20+16．
∴m=16，此时$h=\frac{20+m}{2}=18．$
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．