《2025年名校课堂九年级数学全一册鲁教版五四制山东专版》

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ \angle C = 30^{\circ} $,$ AB \perp AD $,$ AD = 3 cm $,则 $ AC $ 的长等于(D)

A.$ 2\sqrt{2} cm $
B.$ 2\sqrt{3} cm $
C.$ 3\sqrt{2} cm $
D.$ 3\sqrt{3} cm $

答案： 10.D

11. (滨州中考)如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AC \perp BC $,$ \angle ABC = 30^{\circ} $,点 $ D $ 是 $ CB $ 延长线上的一点,且 $ BD = BA $,则 $ \tan \angle DAC $ 的值为(A)

A.$ 2 + \sqrt{3} $
B.$ 2\sqrt{3} $
C.$ 3 + \sqrt{3} $
D.$ 3\sqrt{3} $

答案： 11.A

12. (安徽中考)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90 $,点 $ D $ 在 $ AC $ 上,$ \angle DBC = \angle A $.若 $ AC = 4 $,$ \cos A = \frac{4}{5} $,则 $ BD $ 的长为(C)

A.$ \frac{9}{4} $
B.$ \frac{12}{5} $
C.$ \frac{15}{4} $
D.4

答案： 12.C

13. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 2 $,$ CD = 8 $,$ AC \perp CD $.若 $ \sin \angle ACB = \frac{1}{3} $,则 $ \cos \angle ADC = $\frac{4}{5}.

答案： 13.$\frac{4}{5}$

14. 如图,将等腰直角三角形 $ ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 15^{\circ} $ 后得到 $ \triangle AB'C' $.若 $ AC = 1 $,求图中阴影部分的面积.

答案： 14.解：根据题意，得$AC' = AC = 1, \because \angle B'AB = 15^{\circ}, \therefore \angle BAC' = 45^{\circ} - 15^{\circ} = 30^{\circ}. \therefore C'D = AC' \cdot \tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}. \therefore S_{阴影} = \frac{1}{2} AC' \cdot C'D = \frac{1}{2} × 1 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

15. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ \angle A (\angle A ＜ 45^{\circ}) $,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 1 $,请用 $ \sin A $,$ \cos A $ 表示 $ \sin 2A $.

答案： 15.解：作$Rt\triangle ABC$的斜边$AB$上的中线$CE$，则$CE = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} = AE, \therefore \angle CED = 2\angle A$.过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，在$Rt\triangle ACD$中，$CD = AC \cdot \sin A$,在$Rt\triangle ABC$中，$AC = AB \cdot \cos A = \cos A$,在$Rt\triangle CED$中，$\sin 2A = \sin \angle CED = \frac{CD}{CE} = \frac{AC \cdot \sin A}{\frac{1}{2}} = 2AC \cdot \sin A = 2\cos A \sin A$.

16. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \sin A = \frac{4}{5} $,$ BC = 8 $,$ D $ 是 $ AB $ 的中点,过点 $ B $ 作直线 $ CD $ 的垂线,垂足为 $ E $.
(1)求线段 $ CD $ 的长;
(2)求 $ \cos \angle ABE $ 的值.

答案： 16.解：
(1)在$\triangle ABC$中，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5}. \because BC = 8, \therefore AB = 10$.
$\because D$是$AB$的中点，$\therefore CD = \frac{1}{2} AB = 5$.
(2)在$Rt\triangle ABC$中，